L'obstruction d'Euler et ses généralisations

Euler obstruction and generalizations

• Auteur / Autrice : Hellen Moncao de Carvalho Santana
• Direction : David Trotman, Nivaldo De Góes Grulha Júnior
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/12/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Universidade de São Paulo (Brésil)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Dutertre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Miriam Silva Pereira

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions analytiques

Euler, Équations d'

Mots clés libres

L'obstruction d'Euler

Le nombre de Brasselet

Des points critiques de Morse stratifiés

Des invariants topologiques locaux

Euler obstruction

Brasselet number

Stratified Morse critical points

Local topological invariants

Résumé

Soit f, g : (X, 0)→ (C, 0) des germes des fonctions analytiques définies sur un espace analytique complexe X. Le nombre de Brasselet d’une fonction f décrit numériquement la topologie de la fibre de Milnor généralisée. Dans cette thèse, nous présentons des formules qui compare les nombres de Brasselet de f dans X et de f restreinte à X ∩ { g=0 } dans le cas où g a un ensemble critique stratifié de dimension un. Si, en plus, f a une singularité isolée à l’origine, nous déterminons le nombre de Brasselet de g dans X et nous le mettons en relation avec le nombre de Brasselet de f dans X. Par conséquence, nous obtenons des formules qui permet mesurer l’obstruction locale d’Euler de X e de X {g = 0} à l’origine, en comparant ces nombres avec des invariants locales associés à f et à g. Nous étudions aussi la topologie locale d’une déformation de g, {g} = g+f N, où N>>1. Nous donnons une relation des nombres de Brasselet de g et {g} dans X ∩ {f = 0}, dans le cas où f a une singularité isolée à l’origine. Nous présentons encore une nouvelle preuve pour la formule de Lê-Iomdine pour le nombre de Brasselet.

Let f, g : (X, 0) → (C, 0) be germs of analytic functions defined over a complex analyticspace X. The Brasselet number of a function f describes numerically the topology of its generalized Milnor fibre. In this thesis, we present formulas to compare the Brasselet numbers of f in X and of the restriction of f to X ∩ { g = 0 }, in the case where g has a one-dimensional stratified critical set and f has an arbitrary critical set. If, additionally, f has isolated singularity at the origin, we compute the Brasselet number of g in X and compare it with the Brasselet number of f in X. As a consequence, we obtain formulas to compute the local Euler obstruction of X and of X { g = 0 } at the origin, comparing these numbers with local invariants associated to f and g. We also study the local topology of a deformation of g, { g } = g+f N, for a positive integer number N>>1. We provide a relation between the Brasselet number of g and {g} in X ∩ { f=0 }, in the case where f has isolated singularity at the origin. We also provide a new proof for the Lê-Iomdine formula for the Brasselet number