Espaces de modules de fibrés en droites affines

par Valentin Plechinger

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Andrei Teleman.

Le président du jury était Anne Pichon.

Le jury était composé de Jón Ingólfur Magnússon, Matei Toma, Karl Oeljeklaus.

Les rapporteurs étaient Jochen Heinloth, Philippe Eyssidieux.


  • Résumé

    L'étude des espaces fibrés est un sujet très important dans la géométrie complexe. Cette thèse traite l'étude des fibres en droites affines sur les espaces complexes. Les fibres en droites affines sont une généralisation naturelle des fibres en droites. La première partie de cette thèse examine le problème des modules classiques. En analogie avec le problème linéaire, un foncteur de Picard affine est définie. On démontre que cette espace de modules sera pas Hausdorff, sauf dans les cas triviaux puis une théorie utilisant les repères est développé. Une critère exacte de la représentabilité est donnée. L'existence d'une espace des modules est très rare entrainant la nécessité d'un approche plus moderne, l'utilisation de champs. Une théorie autour d'extensions scindées à chaque fibre est introduite. Cette méthode est très générale et pourrait être intéressante en soi. Sur un espace complexe projective X, elle permet d'identifier le champs de fibre en droite affine avec un champs quotient de fibre linéaire sur le schéma de Picard Pic(X). Par la suite, le type d'homotopie de ce champ est calculé

  • Titre traduit

    Moduli of affine line bundles


  • Résumé

    The study of fibre bundles is an important subject in complex geometry. This thesis considers the particular case of affine line bundles over complex spaces. Affine line bundles are a natural generalisation of line bundles. The first part of this thesis studies the classical moduli problem and the existence of fine moduli spaces. In analogy to the study of line bundles, an affine Picard functor is defined. It is shown that this moduli space will (unless trivial) not be Hausdorff which leads to the study of framed affine line bundles. An exact criterion for the existence of a moduli space for this problem is given. Since the existence of such moduli spaces is very rare, the modern approach of stacks is used in the second part. To give a simpler description of this stack, the theory of fibrewise split extensions is developed. This theory is very general and is of independent interest. For a complex projective variety X, this approach allows to identify the stack of affine line bundles with a quotient stack of linear fibre spaces over the Picard scheme Pic(X). As an application, the homotopy type of this stack is calculated


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