Réalisabilité classique : nouveaux outils et applications

Classical realizability : new tools and applications

• Auteur / Autrice : Guillaume Geoffroy
• Direction : Laurent Régnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/03/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Luminy (Marseille ; 19..-1993)
• Jury : Président / Présidente : Mirna Džamonja
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Tabareau, Matteo Viale, Colin Riba, Jean-Louis Krivine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexandre Miquel, Thomas Streicher

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lambda-calcul

Théorie de la démonstration

Logique mathématique

Mots clés libres

Logique

Réalisabilité classique

Théorie de la démonstration

Sémantique dénotationnelle

Lambda-Calcul

Logic

Classical realizability

Proof theory

Denotational semantics

Lambda-Calculus

Résumé

La réalisabilité classique de Jean-Louis Krivine associe à chaque modèle de calcul et chaque modèle de la théorie des ensembles un nouveau modèle de la théorie des ensembles, appelé modèle de réalisabilité, d'une façon similaire au forcing. Chaque modèle de réalisabilité est muni d’une algèbre de Boole caractéristique ℷ2(gimel 2), dont la structure donne des informations sur les propriétés du modèle de réalisabilité. En particulier, les modèles de forcing correspondent au cas où ℷ2 est l'algèbre de Boole à deux éléments.Ce travail présente de nouveaux outils pour manipuler les modèles de réalisabilité et donne de nouveaux résultats obtenus en les exploitant. L'un d'entre eux est qu'au premier ordre, la théorie des algèbres de Boole à au moins deux éléments est complète pour ℷ2, au sens où ℷ2 peut être rendue élémentairement équivalente à n'importe quelle algèbre de Boole. Deux autres résultats montrent que ℷ2 peut être utilisée pour étudier les modèles dénotationnels de langage de programmation (chacun part d'un modèle dénotationnel et classifie ses degrés de parallélisme à l'aide de ℷ2). Un autre résultat montre que la technique de Jean-Louis Krivine pour réaliser l'axiome des choix dépendants à partir de l'instruction quote peut se généraliser à des formes plus fortes de choix. Enfin, un dernier résultat, obtenu en collaboration avec Laura Fontanella, accompagne le précédent en adaptant la condition d'antichaîne dénombrable du forcing au cadre de la réalisabilité, ce qui semble semble ouvrir une piste prometteuse pour réaliser l'axiome du choix.

Jean-Louis Krivine's classical realizability defines, from any given model of computation and any given model of set theory, a new model of set theory called the realizability model, in a similar way to forcing. Each realizability model is equipped with a characteristic Boolean algebra ℷ2 (gimel 2), whose structure encodes important information about the properties of the realizability model. For instance, forcing models are precisely the realizability models in which ℷ2 is the Boolean algebra with to elements.This document defines new tools for studying realizability models and exploits them to derive new results. One such result is that, as far as first-order logic is concerned, the theory of Boolean algebras with at least two elements is complete for ℷ2, meaning that for each Boolean algebra B (with at least two elements), there exists a realizability model in which ℷ2 is elementarily equivalent to B. Next, two results show that ℷ2 can be used as a tool to study denotational models of programming languages (each one of them takes a particular denotational model and classifies its degrees of parallelism using ℷ2). Moving to set theory, another results generalizes Jean-Louis Krivine's technique of realizing the axiom of dependant choices using the instruction quote to higher forms of choice. Finally, a last result, which is joint work with Laura Fontanella, complements the previous one by adapting the countable antichain condition from forcing to classical realizability, which seems to open a new, promising approach to the problem of realizing the full axiom of choice.