Thèse soutenue

Modules de Fredholm finiment sommables sur les groupes hyperboliques
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Jean-Marie Cabrera
Direction : Michael Puschnigg
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 14/03/2019
Etablissement(s) : Aix-Marseille
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
Jury : Président / Présidente : Georges Skandalis
Examinateurs / Examinatrices : Luisa Paoluzzi, Moulay-Tahar Benameur, Christophe Pittet
Rapporteurs / Rapporteuses : Mikael De La Salle, Pierre Julg

Mots clés

FR  |  
EN

Résumé

FR  |  
EN

Le présent travail est une contribution à la K-théorie bivariante des C*-algèbres au sens de Kasparov, et en particulier à sa version équivariante. Un rôle clé dans cette théorie est joué par l'élément"gamma" de Kasparov, une sorte de classe fondamentale équivariante d'un groupe localement compact. On s'intéresse à la représenter par desK-cycles (modules de Fredholm) possédant de bonnes propriétés.Dans cette thèse on donne une nouvelle construction de tels K-cyclespour les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Les modules de Fredholm obtenus sont finiment sommables, i.e. ils possèdent une propriété de régularité particulièrement forte. On donne aussi une majoration de leur degré minimal de sommabilité.On s'inspire des travaux de V. Lafforgue: les K-cycles considérés sontsimilaires à ceux utilisés par Lafforgue dans sa démonstration de la Conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques. Leur construction est basée sur les idées de Mineyev sur les "bicombings homologiques" des groupes hyperboliques et procède par récurrence sur les squelettes d'un complexe de Rips associé au groupe.Une preuve non-constructive de la sommabilité finie d'un élément "gamma"a été obtenue par Emerson et Nica pour les groupes hyperboliques decaractéristique d'Euler-Poincaré zéro. Des constructions explicites deK-cycles représentant l'élément "gamma" d'un groupe hyperbolique ont étédonnées par Kasparov-Skandalis et V. Lafforgue, mais on ne sait passi leurs modules sont finiment sommables. En général, on ne peut pasespérer trouver des éléments "gamma" finiment sommables pour d'autresclasses de groupes discrets.