Contrôle optimal de quelques phénomènes de diffusion en domaines pollués

Pointwise optimal control for some diffusion phenomena in polluted area

• Auteur / Autrice : Sihem Mahoui
• Direction : Abdennebi Omrane, Mohamed Said Moulay
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/07/2018
• Etablissement(s) : Guyane en cotutelle avec Université Sciences et Technologie Houari Boumedienne, Algérie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Diversités, santé et développement en Amazonie (Cayenne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : UMR 228 Espace-Dev, Espace pour le développement
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tahar Boulmezaoued, Bedr'Eddine Ainseba, Djamel Teniou, Ouahiba Zaïr
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tahar Boulmezaoued, Bedr'Eddine Ainseba

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pollution -- Mesure

Théorie des automates mathématiques

Mots clés libres

Problèmes paraboliques

Problème adjoint

Contrôle à moindres regrets

Contrôle ponctuel

Donnée manquante

Système d'optimalité singulier

Elements finis

Parabolic problem

Adjoint problem

Method of low-regret control

Optimal control

Résumé

Dans ce travail, on s'intéresse à l'analyse mathématique et au contrôle optimal pour des problèmes de diffusion relevant de certains domaines comme l'écologie ou l'environnement et comportant des termes de pollution inconnus en général. De plus, on souhaite agir sur le système en un seul point du domaine considéré pour des raisons de coût. La modélisation de ces problèmes se traduit généralement par un système de type parabolique avec donnée manquante (initiale ou aux limites) représentant la pollution, et où l'on introduit une fonction de contrôle de ce système. La méthode suivie pour résoudre ces problèmes est celle du contrôle à moindres regrets développée par J.-L. Lions et bien adaptée aux problèmes à données manquantes.Plus précisément, on est concerné par des problèmes de type parabolique qui décrivent la diffusion d'un fluide (eau) contaminé dans un domaine (une lagune ou un estuaire) par une pollution ayant son origine sur une partie du bord. De plus, on considère que la fonction source (le contrôle) est localisée en un point, c'est ce qu'on appelle le contrôle ponctuel. On cherche alors le (ou les) contrôle(s) qui peuvent améliorer la situation au lieu de la laisser à l'abandon (sans contrôle).Les solutions ne sont pas des fonctions régulières et ne peuvent être considérées qu'au sens faible. Deux méthodes sont utilisées: la première est la méthode de transposition de Lions-Magenes, détaillée au chapitre 3 de la thèse, et la deuxième méthode consiste à régulariser la masse de Dirac (le support du contrôle est un point) présentée au chapitre4. Pour les deux méthodes, on montre l'existence d'une solution faible et on établit un système d'optimalité singulier (SOS) du contrôle ponctuel à moindres regrets.Un dernier chapitre est consacré aux schémas numériques associés au problème de contrôle ponctuel à moindres regrets, où l'on obtient des estimations d'erreur par la méthode des éléments finis.

In this thesis, we are interested in mathematical analysis and optimal control of diffusion problems where there are pollution terms. In addition, we want to act on the system in a single point of the domain for cost reasons. The systems being studied are parabolic with missing (initial or boundary) data representing pollution, where we introduce a control function. The method of low-regret control of J.-L. Lions, used here for the first time to the pointwise control, seems to be well suited. We then look for the control which can improve the situation instead of doing nothing (no control).Solutions are not regular functions and can only be considered in the weak sense. Two methods are used here: the first one is the method of transposition of Lions-Magenes, detailed in Chapter 3 of the thesis, and the second method consists in regularizing the Dirac mass, presented in chapter 4. Each one of the two methods offers a new point of view. In particular, the functional spaces where the existence of a solution is obtained are different. For both methods, however, a singular optimality system is established for the low-regret pointwise control.A final chapter is devoted to the numerical schemes associated to the low-regret pointwise optimal control, where we obtain error estimates using finite elements method (FEM).