Thèse soutenue

Statistiques arithmétiques sur les algèbres de quaternions

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Auteur / Autrice : Didier Lesesvre
Direction : Farrell Brumley
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathematiques
Date : Soutenance le 30/05/2018
Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....)
Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
Jury : Président / Présidente : Philippe Michel
Examinateurs / Examinatrices : Valentin Blomer, Gaëtan Chenevier, Jacques Tilouine
Rapporteur / Rapporteuse : Philippe Michel, Gergely Harcos

Résumé

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Les formes automorphes sont des objets centraux en théorie des nombres. En dépit de leur omniprésence, elles demeurent mystérieuses et leur comportement est loin d'être entièrement compris. Considérer ces formes automorphes au sein de familles a un effet régularisant, et ouvre la voie aux résultats en moyenne : voilà l'esprit des statistiques arithmétiques. La famille de toutes les représentations automorphes d'un groupe réductif donné, appelée famille universelle du groupe, est particulièrement importante. Dans le cas des formes intérieures de GL(2), autrement dit les groupes d'unités d'algèbres de quaternions, la formule des traces de Selberg est une puissante méthode d'approche. Il existe une notion de taille sur les formes automorphes, le conducteur analytique, permettant de tronquer la famille universelle en un ensemble fini pour lequel ces problèmes de statistiques arithmétiques ont un sens.Une loi de comptage pour la famille universelle tronquée est établie, avec un terme d'erreur gagnant par une puissance dans le cas totalement défini, et une constante à forte teneur géométrique. Cette loi de Weyl est généralisée en un résultat d'équirépartition par rapport à une mesure explicite, et mène à vérifier les conjectures de Sato-Tate dans ce cadre. Des statistiques sur les petits zéros des fonctions L associées sont établies, menant à dévoiler partiellement le type de symétrie des algèbres de quaternions.Plusieurs indices sont mentionnés laissant à croire que d'autres groupes sont abordables par les mêmes méthodes, et les lois de comptage conjecturales pour certains groupes unitaires et symplectiques de petits rangs sont énoncées.