Takmilat al ʿUyūn d'al-Is̥fahānī et ses sources : une histoire des méthodes algorithmiques de résolution des équations cubiques

Takmilat al 'Uyūn of al-Iṣfahānī and his sources : a history of algorithmic methods of solving cubic equations

• Auteur / Autrice : Nacera Bensaou
• Direction : Pascal Crozet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Philosophie, épistémologie. Histoire des mathématiques
• Date : Soutenance le 09/07/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Savoirs scientifiques : Epistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines (Paris ; 2000-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Sciences philosophie histoire (Paris ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Karine Chemla
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Crozet, Karine Chemla, Philippe Abgrall, Dominique Tournès, Erwan Penchèvre, Ahcène Tlilani
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Philippe Abgrall, Dominique Tournès

Mots clés

Mots clés contrôlés

19e siècle

Iran

Mathématiques

Analyse numérique

Histoire

Algorithmes

Équations du troisième degré

Mathématiques arabes

Mots clés libres

Takmilat al-'Uyūn

Alī Muḥammad ibn Muḥammad Ḥusayn al-Iṣfahānī

Calcul approché

Takmilat al-'Uyūn

Alī Muḥammad ibn Muḥammad Ḥusayn al-Iṣfahānī

Approximate computation

Résumé

En 1824, un mathématicien et astronome Iranien, ‘Alī Muḥammad ibn Muḥammad Ḥusayn al-Iṣfahānī, propose une nouvelle théorie des équations cubiques, dans un traité intitulé ''Takmilat al-'Uyūn''. Écrit en langue arabe dans un style ancien, sans symbolisme mathématique, ce traité est exclusivement consacré à la résolution des équations cubiques pour lesquelles il ne met en œuvre que des algorithmes numériques. Ce traité emprunte quelques algorithmes aux mathématiques de ses prédécesseurs comme Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, al-Kāshī ou al-Yazdī. Al-Iṣfahānī résout l'ensemble des vingt-cinq équations cubiques en utilisant les formules classiques connues depuis al-Khawārizmī pour toutes les équations du premier et second degré et celles du troisième degré réductibles au second degré. Il applique, sans se l'approprier, l'algorithme d'extraction de la racine chiffre par chiffre utilisé par Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, et plus tard par al-Yazdī, à l'ensemble des équations cubiques non réductibles au second degré mais qui ne contiennent pas le cube et le nombre dans un même membre de l'équation. Aux cinq équations qu’al-Ṭūsī résout par des méthodes analytiques de géométrie algébrique, celles qui contiennent le cube et le nombre dans un même membre de l'équation, il apporte un ensemble d'algorithmes tous basés sur l'idée d'une solution approchée initiale améliorée par le calcul itératif des termes d'une suite convergente. L'une de ces méthodes, fondée sur l'idée du calcul d'un point fixe d'une fonction, est déjà présente dans le traité d'al- Kāshī qui résout un ancien problème des mathématiques grecques: le calcul du sinus 1°. Une autre de ces méthodes résout ce type d'équations par une réduction de l'intervalle de la racine, et une troisième catégorie de méthode combine l'extraction de la racine chiffre par chiffre avec la réduction de l'intervalle. Le point commun entre ces algorithmes itératifs est que le nombre d'itérations ne peut pas être connu à priori, comme cela était possible dans l'algorithme d'extraction de la racine chiffre par chiffre. C'est visiblement la raison pour laquelle al-Iṣfahānī utilise l’expression de méthodes par 'Istiqrā' pour qualifier cette itération indéterminée : l'algorithme s'arrête lorsque la différence entre deux calculs successifs devient infiniment petite. Tout en se rattachant à la tradition des arithméticiens algébristes mais aussi à la tradition d'al-Khayyām/al-Ṭūsī, le traité d’al-Iṣfahānī constitue une contribution originale à la théorie des équations cubiques par l'analyse numérique. Un point remarquable dans ce traité doit être souligné: al-Iṣfahānī propose pour ces algorithmes plusieurs versions qui se distinguent entre elles par la complexité des calculs qu'il signale explicitement et qu'il montre à travers des exemples qu'il compare vis-à-vis de la quantité des calculs. L'objectif de cette thèse n'est nullement celui d'écrire l'histoire générale des équations cubiques dans les mathématiques arabes, mais partant de l'édition critique de Takmilat al 'Uyūn, d'étudier d'une part les algorithmes d’al-Iṣfahānī et d'autre part d'analyser les traditions mathématiques dans lesquelles il s'inscrit.

In 1824, an Iranian mathematician and astronomer, ‘Alī Muḥammad ibn Muḥammad Ḥusayn al-Iṣfahānī proposed a new theory of cubic equations in a treatise titled ''Takmilat al-'Uyūn''.Written in Arabic language in the ancient style, without mathematical symbolism, this treatise is exclusively dedicated to solving cubic equations for which it uses only numerical algorithms.This treatise borrows some algorithms from the mathematics of its predecessors, such as Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, al-Kāshī or al-Yazdī. Al-Iṣfahānī solves all the twenty-five cubic equations using the classical formulas, known since al-Khawārizmī, for all the equations of the first and second degree and those of the third degree reducible to the second degree.He applies, without appropriating it, the digit by digit root extraction algorithm used by Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī and later by al-Yazdī to the set of cubic equations not reducible to the second degree and that contain the cube and the number on the same side of the equation.To the five equations that al-Ṭūsī solves by analytical methods of algebraic geometry, he gives a set of algorithms all based on the idea of an initial approximate solution improved by iteratively computed terms of a convergent suite.One of these methods, based on the idea of calculating the fixed point of a function, already exists in the treatise of al-Kāshī where he solves the ancient problem of Greek mathematics concerning the determination of the value of sinus 1°. Another one of these methods solves this kind of equations by reducing the interval of the root of the equation, and a third method combines the digit by digit root extraction with the interval reduction method.The common point between these iterative algorithms is that the number of iterations cannot be known in advance, before the calculation of the solution. This is obviously the reason why al-Iṣfahānī uses the expression of methods by 'Istiqrā’ to qualify this indeterminate iteration: the algorithm stops when the difference between two successive calculations becomes infinitely small.While relating to the tradition of algebraic arithmeticians, but also to the tradition of al-Khayyām/al-Ṭūsī, the treatise of al-Iṣfahānī is an original contribution to the theory of cubic equations by numerical analysis.A remarkable point in this treatise must be emphasized: al-Iṣfahānī gives for these iterative algorithms several versions that he compares with respect to the complexity of the calculations, and he explicitly indicates and shows it through many examples that he compares to the quantity of calculations.The purpose of this thesis is not to write the general history of cubic equations in Arabic mathematics, but starting from the critical edition of Takmilat al-'Uyūn we aim to study on the one hand the algorithms of al-Iṣfahānī and then to analyse the mathematical traditions within which his work is inscribed.