Analyse bayésienne objective des modèles de krigeage avec noyau de corrélation anisotrope

Objective Bayesian analysis of Kriging models with anisotropic correlation kernel

• Auteur / Autrice : Joseph Muré
• Direction : Josselin Garnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/10/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Clémentine Prieur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Josselin Garnier, Clémentine Prieur, Jean-Michel Marin, Kerrie L. Mengersen, Anne Dutfoy, Stéphane Boucheron, Loic Le Gratiet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Michel Marin, Kerrie L. Mengersen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique bayésienne

Markov, Processus de

Mots clés libres

Loi conditionnelle

Compromis optimal

Krigeage

Prior de référence

Conditional distribution

Optimal compromise

Kriging

Reference prior

Résumé

Les métamodèles statistiques sont régulièrement confrontés au manque de données qui engendre des difficultés à estimer les paramètres. Le paradigme bayésien fournit un moyen élégant de contourner le problème en décrivant la connaissance que nous avons des paramètres par une loi de probabilité a posteriori au lieu de la résumer par une estimation ponctuelle. Cependant, ce paradigme nécessite de définir une loi a priori adéquate, ce qui est un exercice difficile en l'absence de jugement d'expert. L'école bayésienne objective propose des priors par défaut dans ce genre de situation telle que le prior de référence de Berger-Bernardo. Un tel prior a été calculé par Berger, De Oliveira and Sansó [2001] pour le modèle de krigeage avec noyau de covariance isotrope. Une extension directe au cas des noyaux anisotropes poserait des problèmes théoriques aussi bien que pratiques car la théorie de Berger-Bernardo ne peut s'appliquer qu'à un jeu de paramètres ordonnés. Or dans ce cas de figure, tout ordre serait nécessairement arbitraire. Nous y substituons une solution bayésienne objective fondée sur les posteriors de référence conditionnels. Cette solution est rendue possible par une théorie du compromis entre lois conditionnelles incompatibles. Nous montrons en outre qu'elle est compatible avec le krigeage trans-gaussien. Elle est appliquée à un cas industriel avec des données non-stationnaires afin de calculer des Probabilités de Détection de défauts (POD de l'anglais Probability Of Detection) par tests non-destructifs dans les tubes de générateur de vapeur de centrales nucléaires.

A recurring problem in surrogate modelling is the scarcity of available data which hinders efforts to estimate model parameters. The Bayesian paradigm offers an elegant way to circumvent the problem by describing knowledge of the parameters by a posterior probability distribution instead of a pointwise estimate. However, it involves defining a prior distribution on the parameter. In the absence of expert opinion, finding an adequate prior can be a trying exercise. The Objective Bayesian school proposes default priors for such can be a trying exercise. The Objective Bayesian school proposes default priors for such situations, like the Berger-Bernardo reference prior. Such a prior was derived by Berger, De Oliveira and Sansó [2001] for the Kriging surrogate model with isotropic covariance kernel. Directly extending it to anisotropic kernels poses theoretical as well as practical problems because the reference prior framework requires ordering the parameters. Any ordering would in this case be arbitrary. Instead, we propose an Objective Bayesian solution for Kriging models with anisotropic covariance kernels based on conditional reference posterior distributions. This solution is made possible by a theory of compromise between incompatible conditional distributions. The work is then shown to be compatible with Trans-Gaussian Kriging. It is applied to an industrial case with nonstationary data in order to derive Probability Of defect Detection (POD) by non-destructive tests in steam generator tubes of nuclear power plants.