Énumération de cartes planaires orientées

Enumeration of oriented planar maps

• Auteur / Autrice : Clément Dervieux
• Direction : Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique. Combinatoire
• Date : Soutenance le 15/06/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Michèle Soria
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Michèle Soria, Philippe Duchon, Olivier Bernardi, Jérémie Bouttier, Anne Micheli, Nicolas Bonichon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Duchon, Olivier Bernardi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Décomposition (mathématiques)

Triangulation

Polyèdres

Nombres de Catalan

Théorie des graphes

Mots clés libres

Combinatoire

Bijections

Combinatorics

Graphs

Polyhedra

Triangulations

Catalan

Decompositions

Algorithms

Bijections

Résumé

Après une présentation générale des cartes planaires, nous définissons les polyèdres en coin, étudiés par Eppstein et Mumford. Nous en venons rapidement à introduire les triangulations en coin, qui sont les cartes duales des squelettes des polyèdres en coin, et en donnons quelques propriétés. Nous proposons un algorithme de réalisation de polyèdres en coin de complexité linéaire. Pour cela, l'étude des triangulations en coin conduit à des problèmes d'énumération. Une méthode classique, connue depuis Tutte, donne le résultat voulu en faisant intervenir la série des nombres de Catalan. La recherche d'une explication combinatoire à la présence des nombres de Catalan a rendu souhaitable l'utilisation d'autres méthodes, fondées sur des découpages et des recollements de morceaux de triangulations en coin. Ainsi apparaît la famille des triangulations en amande, qui est une nouvelle représentation des nombres de Catalan, qui est en bijection directe avec la famille des arbres binaires, et qui complète notre algorithme de réalisation de polyèdres en coin. Nous apportons enfin une conclusion à ces travaux en tentant de généraliser nos méthodes à des cartes dont les faces sont de degré fixé, mais quelconque.

After a general presentation of planar maps, we define corner polyhedra, studied by Eppstein and Mumford. We soon introduce corner triangulations, that are dual maps of the skeletons of corner polyhedra, and we give some properties of them.We offer a linear time algorithm to realize corner polyhedra. For that, the study of corner triangulations leads to enumeration problems. A classic method, known from Tutte, gives the wanted result, making the series of Catalan numbers appearing. The research for a combinatorial explanation of the presence of Catalan numbers induces the use of other methods, based on cuttings and gluings of some parts of corner triangulations. Thus appears the family of almond triangulations, that is a new representation of Catalan numbers, in bijection with the binary trees family, and that completes our corner polyhedra realization algorithm. We eventually give a conclusion to these works, trying to generalize our methods to maps whose faces have an any fixed degree.