Sur des invariants quantiques : un modèle homologique pour les polynômes de Jones coloriés et applications du sl(2|1) quantique

On quantum Invariants : homological model for the coloured jones polynomials and applications of quantum sl(2|1).

• Auteur / Autrice : Cristina Ana-Maria Palmer-Anghel
• Direction : Christian Blanchet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Topologie quantique
• Date : Soutenance le 29/06/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Christine Lescop
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Blanchet, Christine Lescop, Jacob A Rasmussen, Emmanuel Wagner, Rinat Kashaev, Catherine Gille
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jacob A Rasmussen, Emmanuel Wagner

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie

Superalgèbres

Théorie des noeuds

Groupes quantiques

Invariants

Mots clés libres

Invariants quantiques

Polynômes de Jones coloriés

Quantum invariants

Coloured Jones polynomials

Résumé

Le domaine de cette thèse est dans la topologie quantique et son sujet est axé sur l'interaction entre la topologie de basse dimension et la théorie des représentations. Ma recherche concerne aspects différents des invariants quantiques pour les entrelacs et les 3-variétés, visant a créer des ponts entre les façons algébriques et topologiques de les définir. D'une part, une description algébrique et combinatoire pour un concept mathématique, crée l'opportunité de développer des outils de calcul. D'un autre côté, les descriptions topologiques et géométriques ouvrent des perspectives vers des constructions qui mènent a une compréhension plus profonde et a des théories plus subtiles.Les polynômes de Jones coloriés sont des invariants quantiques d'entrelacs contruits en partant de la théorie des représentations de Uq(sl(2)). Le premier invariant de cette séquence est le polynôme de Jones original, qui peut-être caractérisé aussi par la théorie de l'écheveau. Bigelow et Lawrence ont décrit un modèle homologique pour le polynôme de Jones. Ils ont utilisé la représentation de Lawrence, qui est une représentation de groupe de tresses sur l'homologie des revêtements d'espaces de configurations dans le disque pointé, et la nature de l'écheveau de l'invariant pour la preuve. Contrairement a ce cas, les autres polynômes de Jones coloriés ne peu- vent pas être définis facilement par la théorie de l'écheveau. Dans la premiere partie de cette thèse, nous donnons un modèle topologique pour les polynômes de Jones coloriés. Nous utilisons leur définition comme invariants quantiques et construisons des correspondants topologiques pas à pas. Nous observons d'abord que l'invariant peut être codé par des espaces dits de plus haut poids, puis utiliser un résultat de Kohno, qui identifie ces espaces avec des représentations de Lawrence. Nous prouvons que les polynômes de Jones coloriés peuvent être obtenus comme une forme d'intersection géométrique gradués entre des classes d'homologie dans certaines couvertures des espaces de configuration de points dans le disque pointé.Les deuxième et troisième parties sont orientées vers les applications de la théorie de la représentation des super groupes quantiques aux invariants quantiques. La deuxième partie est une collaboration avec N. Geer, ou nous construisons des invariants quantiques pour 3-variétés a par- tir des représentations de Uq(sl(2|1)). Turaev-Viro ont défini une méthode de type somme d'état qui donne des invariants de 3-variétés a partir de Uq(sl(2)). Pour les super groupes quantiques, cela entraîne l'annulation des invariants. Plus tard, Geer-Patureau-Turaev ont défini une méthode modifiée qui commence par une catégorie avec de bonnes propriétés et conduit à des invariants non-nulls. Notre stratégie consiste a construire une catégorie qui peut-être utilisée dans cette méthode modifiée. La troisième partie concerne l'étude des algèbre centralisatrices pour les représentations de Uq(sl(2|1)). Wagner et Marin conjecturaient les dimensions d'une suite d'algèbres centralisatrices correspondant à la représentation simple standard de Uq(sl(2|1)). Nous prouvons cette conjecture en utilisant des techniques combinatoires.

The domain of this thesis is within quantum topology and its subject is focused towards the interaction between low dimensional topology and representation theory. My research con- cerns different aspects of quantum invariants for links and 3-manifolds, aiming to create bridges between algebraic and topological ways of defining them. On one hand, an algebraic and combinatorial description for a mathematical concept, creates the opportunity to develop computational tools. On the other hand, topological and geometrical descriptions open perspectives towards constructions that lead to a deeper understanding and more subtle theories.The coloured Jones polynomials are quantum link invariants constructed from the representa- tion theory of Uq(sl(2)). The first invariant of this sequence is the original Jones polyno- mial, which can be characterised also by skein theory. Bigelow and Lawrence described a homological model for the Jones polynomial. They used the Lawrence representation, which is a braid group representation on the homology of coverings of configuration spaces in the punctured disk, and the skein nature of the invariant for the proof. In contrast to this case, the other coloured Jones polynomials cannot be defined in an easy manner by skein theory.In the first part of this thesis, we give a topological model for the coloured Jones polynomi- als. We use their definition as quantum invariants and construct step by step topological cor- respondents. We first observe that the invariant can be encoded through so-called highest weight spaces and then use a result by Kohno, which identifies these spaces with Lawrence representations. We prove that the coloured Jones polynomials can be obtained as graded geometric intersection pairings between homology classes in certain coverings of the config- uration spaces of points in the punctured disk.The second and third parts are oriented towards applications of representation theory of super quantum groups to quantum invariants.The second part is a collaboration with N. Geer, where we construct quantum invariants for 3-manifolds from representations of Uq(sl(2|1)). Turaev-Viro defined a state-sum type method that gives 3-manifold invariants from Uq(sl(2)). For super quantum groups, this leads to vanishing invariants. Later on, Geer-Patureau-Turaev defined a modified method which starts with a category with good properties and leads to non-vanishing invariants. Our strategy is to construct a category that fits into the input of this modified method.The third part concerns the study of centralizer algebras for representations of Uq(sl(2|1)). Wagner and Marin conjectured the dimensions of a sequence of centralizer algebras corre- sponding to the simple standard Uq(sl(2|1))-representation. We prove this conjecture using combinatorial techniques.