Décomposition de graphes en plus courts chemins et en cycles de faible excentricité

Decomposing a graph with shortest paths of bounded eccentricity

• Auteur / Autrice : Léo Planche
• Direction : Étienne Birmelé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques informatique
• Date : Soutenance le 23/11/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Descartes (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques Appliquées Paris 5 / MAP5 - UMR 8145
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Vialette
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Étienne Birmelé, Stéphane Vialette, Johanne Cohen, Cyril Gavoille, Michel Habib, Frédéric Havet, Fabien de Montgolfier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Johanne Cohen, Cyril Gavoille

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laminaires

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Cycle isométrique

Excentricité

Plus court chemin

Domination

Graphe de reads

Label de distances

Laminaire

Graph theory

Isometric cycle

Eccentricity

Shortest path

Domination

Read graphs

Distance labeling

Laminarity

Résumé

En collaboration avec des chercheurs en biologie à Jussieu, nous étudions des graphes issus de données biologiques afin de d'en améliorer la compréhension. Ces graphes sont constitués à partir de fragments d'ADN, nommés reads. Chaque read correspond à un sommet, et deux sommets sont reliés si les deux séquences d'ADN correspondantes ont un taux de similarité suffisant. Ainsi se forme des graphes ayant une structure bien particulière que nous nommons hub-laminaire. Un graphe est dit hub-laminaire s'il peut être résumé en quelques plus courts chemins dont tous les sommets du graphe soient proche. Nous étudions en détail le cas où le graphe est composé d'un unique plus court chemin d'excentricité faible, ce problème a été initialement défini par Dragan 2017. Nous améliorons la preuve d'un algorithme d'approximation déjà existant et en proposons un nouveau, effectuant une 3-approximation en temps linéaire. De plus, nous analysons le lien avec le problème de k-laminarité défini par Habib 2016, ce dernier consistant en la recherche d'un diamètre de faible excentricité. Nous étudions ensuite le problème du cycle isométrique de plus faible excentricité. Nous montrons que ce problème est NP-complet et proposons deux algorithmes d'approximations. Nous définissons ensuite précisément la structure "hub-laminaire" et présentons un algorithme d'approximation en temps O(nm). Nous confrontons cet algorithme à des graphes générés par une procédure aléatoire et l'appliquons à nos données biologiques. Pour finir nous montrons que le calcul du cycle isométrique d'excentricité minimale permet le plongement d'un graphe dans un cercle avec une distorsion multiplicative faible. Le calcul d'une décomposition hub-laminaire permet quant à lui une représentation compacte des distances avec une distorsion additive bornée.

In collaboration with reserchears in biology at Université Pierre et Marie Curie, we study graphs coming from biological data in order to improve our understanding of it. Those graphs come from DNA fragments, named reads. Each read is a vertex and two vertices are linked if the DNA sequences are similar enough. Such graphs have a particuliar structure that we name hub-laminar. A graph is said to be hub-laminar if it may be represented as a (small) set of shortest paths such that every vertex of the graph is close to one of those paths. We first study the case where the graph is composed of an unique shortest path of low eccentricity. This problem was first definied by Dragan 2017. We improve the proof of an approximation algorithm already existing and propose a new one, a 3-approximation running in linear time. Furthermore we show its link with the k-laminar problem defined by Habib 2016, consisting in finding a diameter of low eccentricity. We then define and study the problem of the isometric cycle of minimal eccentricity. We show that this problem is NP-complete and propose two approximation algorithms. We then properly define what is an hub-laminar decomposition and we show an approximation algorithm running in O(nm). We test this algorithm with randomly generated graphs and apply it to our biolgical data. Finaly we show that computing an isometric cycle of low eccentricity allows to embed a graph into a cycle with a low multiplicative distortion. Computing an hub-laminar decomposition allows a compact representation of distances with a low additive distortion.