Sur la limite semi-classique de l'équation de Davey-Stewartson II défocalisant
Auteur / Autrice : | Olga Assainova |
Direction : | Christian Klein |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 30/11/2018 |
Etablissement(s) : | Bourgogne Franche-Comté |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon) |
Jury : | Président / Présidente : Jean-Claude Saut |
Examinateurs / Examinatrices : Mariana Haragus | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Jörg Frauendiener, Georgi Grahovski |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
La méthode de diffusion inverse est la plus efficace dans la théorie des systèmes intégrables. Introduite dans les années soixantes, d'importants résultats ont été obtenus pour les problèmes de dimension 1+1 et notamment sur l'interaction de solitons. Depuis quelques années, l'intérêt est porté sur des problèmes de dimensions supérieures comme les équations de Davey-Sterwartson, une généralisation de l'équation intégrable de Schrödinger cubique non linéaire en dimension 1+1. Des études numériques en limite semi-classique de l'équation de Davey-Stewartson II (DSII) défocalisant, font apparaître des points communs avec le cas réduit unidimensionnel, par exemple sur l'existence d'ondes de choc dispersives : des conditions initiales lisses mènent à une région d'oscillations rapides et modulées dans le voisinage des chocs des solutions des équations non dispersives dotées des mêmes conditions initiales.Cette thèse donne les premières étapes pour l'étude analytique de ce problème basée sur la méthode de la transformée de diffusion inverse. Les deux types de méthodes, directe et inverse, pour l'équation de DSII permettent de réécrire le problème sous la forme des équations D-bar. On considère la transformée spectrale directe pour l'équation DSII avec des conditions initiales lisses en limite semi-classique. La transformée spectrale directe mène à un système de Dirac elliptique singulièrement perturbé en deux dimensions. On introduit une méthode de type BKW pour ce problème et on montre qu'il est bien défini pour des paramètres spectraux k ∈ ℂ dont les modules sont suffisamment grands en controllant la solution d'une équation eikonale non linéaire. Aussi cette méthode donne des résultats numériques précis pour de tels k en limite semi-classique. Ces résultats reposent sur la solution numérique du système de Dirac singulièrement perturbé et la solution numérique du problème eikonal.On résout le problème eikonal de manière explicite pout tout k dans le cas d'un potentiel particulier. Ces calculs donnent une explication sur le fait que l'on ne puisse pas appliquer la méthode BKW pour des valeurs de |k| plus petites. On présente une nouvelle méthode numérique pour calculer la solution du problème eikonal avec des valeurs de |k| suffisamment grandes.Les calculs numériques de la transformée spectrale directe offrent une manière d'analyser le système de Dirac singulièrement perturbé pour des valeurs de |k| si petites qu'il n'y a pas de solution globale au problème eikonal. On donne une analyse semi-classique rigoureuse sur la solution pour des potentiels radiaux en k = 0, ce qui donne une expression asymptotique du coefficient de réflexion pour k = 0 et suggère une structure annulaire pour la solution, ce qui peut être utilisé quand |k| ≠ 0 est petit. L'étude numérique suggère aussi que pour certains potentiels, le coefficient de réflexion converge simplement, quand ε ↓ 0, vers une fonction limite définie pour des valeurs de k pour lesquelles le problème eikonal n'a pas de solution globale. On propose que les singularités de la fonction eikonale jouent un rôle aussi similaire que les points tournants de la théorie unidimensionelle.