Théorèmes limite pour un processus de Galton-Watson multi-type en environnement aléatoire indépendant

Limit theorems for a multi-type Galton-Watson process in random independent environment

• Auteur / Autrice : Thi Da Cam Pham
• Direction : Marc Peigné
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/12/2018
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Sara Brofferio
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Émile Le Page, Kilian Raschel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Gerold Alsmeyer, Jean-François Delmas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Théorie ergodique

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Point critique

Matrices aléatoires

Markov, Processus de

Mots clés libres

Chaines de Markov

Multi-type branching process

Survival probability

Random environment

Critical case

Exit time

Markov chains

Product of random matrices

Résumé

La théorie des processus de branchement multi-type en environnement i.i.d. est considérablement moins développée que dans le cas univarié, et les questions fondamentales ne sont pas résolues en totalité à ce jour. Les réponses exigent une compréhension profonde du comportement des produits des matrices i.i.d. à coefficients positifs. Sous des hypothèses assez générales et lorsque les fonctions génératrices de probabilité des lois de reproduction sont “linéaire fractionnaires”, nous montrons que la probabilité de survie à l’instant n du processus de branchement multi-type en environnement aléatoire est proportionnelle à 1/√n lorsque n → ∞. La démonstration de ce résultat suit l’approche développée pour étudier les processus de branchement uni-variés en environnement aléatoire i. i. d. Il utilise de façon cruciale des résultats récents portant sur les fluctuations des normes de produits de matrices aléatoires i.i.d.

The theory of multi-type branching process in i.i.d. environment is considerably less developed than for the univariate case, and fundamental questions are up to date unsolved. Answers demand a solid understanding of the behavior of products of i.i.d. matrices with non-negative entries. Under mild assumptions, when the probability generating functions of the reproduction laws are fractional-linear, the survival probability of the multi-type branching process in random environment up to moment n is proportional to 1/√n as n → ∞. Techniques for univariate branching process in random environment and methods from the theory of products of i.i.d. random matrices are required.