Thèse soutenue

Une méthode de dualité pour des problèmes non convexes du Calcul des Variations

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Auteur / Autrice : Tran Duc Minh Phan
Direction : Guy Bouchitte
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 28/06/2018
Etablissement(s) : Toulon
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulon (2006-....)
Jury : Président / Présidente : Giuseppe Buttazzo
Examinateurs / Examinatrices : Guy Bouchitte, Pierre Bousquet, Ilaria Maria Rita Fragalà, Thierry Champion, Cédric Galusinski, Chloé Jimenez
Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Bousquet, Ilaria Maria Rita Fragalà

Résumé

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Dans cette thèse, nous étudions un principe général de convexification permettant de traiter certainsproblèmes variationnels non convexes sur Rd. Grâce à ce principe nous pouvons mettre en oeuvre lespuissantes techniques de dualité et ramener de tels problèmes à des formulations de type primal–dualdans Rd+1, rendant ainsi efficace la recherche numérique de minima globaux. Une théorie de ladualité et des champs de calibration est reformulée dans le cas de fonctionnelles à croissance linéaire.Sous certaines hypothèses, cela nous permet de généraliser un principe d’exclusion découvert parVisintin dans les années 1990 et de réduire le problème initial à la minimisation d’une fonctionnelleconvexe sur Rd. Ce résultat s’applique notamment à une classe de problèmes à frontière libre oumulti-phasique donnant lieu à des tests numériques très convaincants au vu de la qualité des interfacesobtenues. Ensuite nous appliquons la théorie des calibrations à un problème classique de surfacesminimales avec frontière libre et établissons de nouveaux résultats de comparaison avec sa varianteoù la fonctionnelle des surfaces minimales est remplacée par la variation totale. Nous généralisonsla notion de calibrabilité introduite par Caselles-Chambolle et Al. et construisons explicitementune solution duale pour le problème associé à la seconde fonctionnelle en utilisant un potentiellocalement Lipschitzien lié à la distance au cut-locus. La dernière partie de la thèse est consacrée auxalgorithmes d’optimisation de type primal-dual pour la recherche de points selle, en introduisant denouvelles variantes plus efficaces en précision et temps calcul. Nous avons en particulier introduit unevariante semi-implicite de la méthode d’Arrow-Hurwicz qui permet de réduire le nombre d’itérationsnécessaires pour obtenir une qualité satisfaisante des interfaces. Enfin nous avons traité la nondifférentiabilité structurelle des Lagrangiens utilisés à l’aide d’une méthode géométrique de projectionsur l’épigraphe offrant ainsi une alternative aux méthodes classiques de régularisation.