Estimations LP à poids sur des variétés riemanniennes

Weighted LP estimates on Riemannian manifolds

• Auteur / Autrice : Kamilia Dahmani
• Direction : Stéfanie Petermichl, Komla Domelevo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 07/12/2018
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bellman, Équation de

Transformation de Riesz

Mots clés libres

Transformées de Riesz

Inégalités à poids

Fonctions de Bellman

Courbure de Bakry-Emery

Opérateurs épars

Représentation stochastique des transformées de Riesz

Riesz transforms

Weighted inequalities

Bellman function

Bakry-Emery curvature

Sparse operators

Scolastic representation of the Riesz functions

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'analyse harmonique et plus exactement, des estimations à poids. Un intérêt particulier est porté aux estimations Lp à poids des transformées de Riesz sur des variétés Riemanniennes complètes ainsi qu'à l'optimalité des résultats en terme de la puissance de la caractéristique des poids. On obtient un premier résultat (en terme de la linéarité et de la non dépendance de la dimension) sur des espaces pas nécessairement de type homogène, lorsque p = 2 et la courbure de Bakry-Emery est positive. On utilise pour cela une approche analytique en exhibant une fonction de Bellman concrète. Puis, en utilisant des techniques stochastiques et une domination éparse, on démontre que les transformées de Riesz sont bornées sur Lp, pour p ∈ (1, +∞) et on déduit également le résultat précèdent. Enfin, on utilise un changement élégant dans la preuve précèdente pour affaiblir l'hypothèse sur la courbure et la supposer minorée.

The topics addressed in this thesis lie in the field of harmonic analysis and more pre- cisely, weighted inequalities. Our main interests are the weighted Lp-bounds of the Riesz transforms on complete Riemannian manifolds and the sharpness of the bounds in terms of the power of the characteristic of the weights. We first obtain a linear and dimensionless result on non necessarily homogeneous spaces, when p = 2 and the Bakry-Emery curvature is non-negative. We use here an analytical approach by exhibiting a concrete Bellman function. Next, using stochastic techniques and sparse domination, we prove that the Riesz transforms are Lp-bounded for p ∈ (1, +∞) and obtain the previous result for free. Finally, we use an elegant change in the precedent proof to weaken the condition on the curvature and assume it is bounded from below.