Uniformisation locale simultanée par monomialisation d'éléments clefs

Simultaneaous local uniformization by monomialization of key elements

• Auteur / Autrice : Julie Decaup
• Direction : Mark Spivakovsky
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 06/07/2018
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Valuations, Théorie des

Polynômes

Mots clés libres

Uniformisation locale

Valuations

Polynômes clefs

Local uniformization

Valuations

Key polinomials

Résumé

Le théorème d'uniformisation locale est un résultat important en théorie des singularités. Connu en caractéristique nulle, il reste ouvert en caractéristique positive. Dans cette thèse, nous donnons une version simultanée de ce théorème en caractéristique nulle. On considère R un anneau local régulier muni d'une valuation centrée en son idéal maximal. Nous démontrons l'uniformisation locale par monomialisation simultanée des éléments de R. La preuve apportée ici est nouvelle et riche de trois choses : tout d'abord, nous monomialisons tous les éléments avec la même suite d'éclatements. De plus, cette suite est explicite et nous connaissons les coordonnées pas à pas. Pour finir, nous ne faisons aucune supposition sur le rang de la valuation. Afin de faire cela, nous utilisons une théorie intimement liée à la théorie des valuations : celle des éléments clefs, une généralisation des polynômes clefs, qui est détaillée dans le deuxième chapitre du manuscrit. On y donne une nouvelle définition des polynômes clefs et on étudie leur rapport précis avec les polynômes clefs de MacLane et Vaquié. Enfin, le dernier chapitre est dédié à un cadre plus général : celui des anneaux locaux d'équicaractéristique nulle quasi-excellents intègres. Dans ce cas, la théorie des éléments clefs, bien que nécessaire, n'est plus suffisante. Il nous faudra utiliser l'idéal premier implicite H d'un tel anneau R et montrer que l'on peut réduire l'étude à la régularisation du quotient du complété de R par H.

The local uniformization theorem is an important result in theory of singularities. Known in characteristic zero, it is an open problem in positive characteristic. In this thesis, we give a simultaneous version of this theorem in zero characteristic. We consider a regular local ring R with a valuation centered in its maximal ideal. We prove the local uniformization theorem by monomializing simultaneously the elements of R. The proof given is new and rich in three respects : first, we monomialize every element with the same sequence of blow-ups. Furthermore, this sequence is explicit and we know the coordinates at each step. In addition, the construction is independent of any hypothesis on the rank of the valuation. To this end, we use a theory intimately linked to that of valuations based on the notion of key elements, a generalization of key polynomials, which is explained in detail in the second chapter of this manuscript. We give a new definition of key polynomials and we study their precise relation with key polynomials of Mac Lane and Vaquié. The last chapter is devoted to the more general framework of local quasi-excellent domains of equicharacteristic zero. In this case, although still necessary, the theory of key elements is no longer sufficient. We need to use the implicit prime ideal H of such a ring R and show that the problem can be reduced to the desingularisation of the quotient of the completion of R by H.