Foncteurs de Long-Moody et homologie stable des groupes de difféotopie

Long-Moody functors and stable homology of mapping class groups

• Auteur / Autrice : Arthur Soulié
• Direction : Christine Vespa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2018
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Geoffrey Powell
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Chapoton, Gwénaël Massuyeau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Touzé, Nathalie Wahl

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des tresses

Foncteurs, Théorie des

Topologie algébrique

Mots clés libres

Groupe de difféotopie

Foncteurs polynomiaux

Construction de Long-Moody

Homologie stable

Mapping class groups

Polynomial functors

Long-Moody construction

Stable homology

Résumé

Parmi les représentations linéaires des groupes de tresses, les représentations de Burau peuvent être construites à partir d’une représentation triviale via une construction introduite par Long en 1994, à l’issue d’une collaboration avec Moody. Cette construction, dite de Long-Moody, permet ainsi de construire des représentations de plus en plus complexes des groupes de tresses. Dans cette thèse, on adopte un point de vue fonctoriel sur cette construction, ce qui permet d’en dégager plus aisément des variantes. De plus, le degré de polynomialité d’un foncteur permet d’en mesurer la complexité. On montre ainsi que la construction Long-Moody définit un foncteur LM, qui augmente le degré de très forte polynomialité. Par ailleurs, on définit des foncteurs analogues pour d’autres familles de groupes telles que les groupes de difféotopie des surfaces et des 3-variétés, les groupes symétriques ou les groupes d’automorphismes des groupes libres. Ils vérifient des propriétés similaires sur la polynomialité. Les foncteurs de Long-Moody fournissent ainsi des coefficients tordus entrant dans le cadre des résultats de stabilité homologique de Randal-Williams et Wahl pour les familles de groupes susmentionnées. On donne enfin un résultat de comparaison entre l’homologie stable à coefficient dans un foncteur F et celle à coefficient dans le foncteur LM(F) obtenu en appliquant un foncteur de Long-Moody. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier introduit les foncteurs de Long-Moody pour les groupes de tresses et traite de leur effet sur la polynomialité. Le deuxième traite de la généralisation des foncteurs de Long-Moody pour d’autres familles de groupes. Le dernier chapitre concerne des calculs d’homologie stable pour les groupes de difféotopie.

Among the linear representations of braid groups, Burau representations are recovered from a trivial representation using a construction introduced by Long in 1994, following a collaboration with Moody. This construction, called the Long-Moody construction, thus allows to construct more and more complex representations of braid groups. In this thesis, we have a functorial point of view on this construction, which allows find more easily some variants. Moreover, the degree of polynomiality of a functor measures its complexity. We thus show that the Long-Moody construction defines a functor LM, which increases the degree of polynomiality. Furthermore, we define analogous functors for other families of groups such as mapping class groups of surfaces and 3-manifolds, symmetric groups or automorphism groups of free groups. They satisfy similar properties on the polynomiality. Hence, Long-Moody functors provide twisted coefficients fitting into the framework of the homological stability results of Randal-Williams and Wahl for the afore mentioned families of groups. Finally, we give a comparison result for the stable homology with coefficient given by a functor F and the one with coefficient given by the functor LM(F), obtained applying a Long-Moody functor. This thesis has three chapters. The first one introduces Long-Moody functors for braid groups and deals with their effect on the polynomiality. The first one deals with the generalisation of Long-Moody functors for other families of groups. The last chapter touches on stable homology computations for mapping class group.