Méthodes de réduction de complexité appliquées à la résolution rapide des formulations intégrales de bord de type multi-trace

Complexity reduction methods applied to the rapid solution to multi-trace boundary integral formulations

• Auteur / Autrice : Alan Ayala Obregón
• Direction : Laura Grigori, Xavier Claeys
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 16/11/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Després
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Alouges
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Patrick Ciarlet, Éric Darrigrand

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes d'approximation

Éléments-frontières, Méthode des

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Formulation multi-trace

Équation de Maxwell

Rang faible

Sous-espaces affines

Algorithme de communication optimale

Approximation CUR

Multi-trace formulation

Maxwell equations

Low-rank approximations

Résumé

L'objectif de cette thèse est de fournir des techniques de réduction de complexité pour la solution des équations intégrales de frontière (BIE). En particulier, nous sommes intéressés par les BIE issues de la modélisation des problèmes acoustiques et électromagnétiques via les méthodes des éléments de frontière (BEM). Nous utilisons la formulation multi-trace locale pour laquelle nous trouvons une expression explicite pour l’inverse de l'opérateur multi-trace pour un problème modèle de diffusion. Ensuite, nous proposons cet opérateur inverse pour préconditionner des problèmes de diffusion plus générales. Nous montrons également que la formulation multi-trace locale est stable pour les équations de Maxwell posées sur un domaine particulier. Nous posons les problèmes de type BEM dans le cadre des matrices hiérarchiques, pour lesquelles c'est possible d'identifier sous-matrices admettant des approximations de rang faible (blocs admissibles). Nous introduisons une technique appelée échantillonnage géométrique qui utilise des structures d'arbre pour créer des algorithmes CUR en complexité linéaire, lesquelles sont orientés pour créer des algorithmes parelles avec communication optimale. Finalement, nous étudions des méthodes QR et itération sur sous-espaces; pour le premier, nous fournissons de nouvelles bornes pour l’erreur d’approximation, et pour le deuxième nous résolvons une question ouverte dans la littérature consistant à prouver que l'approximation des vecteurs singuliers converge exponentiellement. Enfin, nous proposons une technique appelée approximation affine de rang faible destinée à accroître la précision des méthodes classiques d’approximation de rang faible.

In this thesis, we provide complexity reduction techniques for the solution of Boundary Integral Equations (BIE). In particular, we focus on BIE arising from the modeling of acoustic and electromagnetic problems via Boundary Element Methods (BEM). We use the local multi-trace formulation which is friendly to operator preconditioning. We find a closed form inverse of the local multi-trace operator for a model problem and then we propose this inverse operator for preconditioning general scattering problems. Moreover, we show that the local multi-trace formulation is stable for Maxwell equations posed on a particular domain configuration. For general problems where BEM are applied, we propose to use the framework of hierarchical matrices, which are constructed using cluster trees and allow to represent the original matrix in such a way that submatrices that admit low-rank approximations (admissible blocks) are well identified. We introduce a technique called geometric sampling which uses cluster trees to create accurate linear-time CUR algorithms for the compression and matrix-vector product acceleration of admissible matrix blocks, and which are oriented to develop parallel communication-avoiding algorithms. We also contribute to the approximation theory of QR and subspace iteration methods; for the former we provide new bounds for the approximation error, and for the later we solve an open question in the literature consisting in proving that the approximation of singular vectors exponentially converges. Finally, we propose a technique called affine low-rank approximation intended to increase the accuracy of classical low-rank approximation methods.