Systèmes dynamiques coopératifs appliqués en biologie

Cooperative dynamic systems applied in biology

• Auteur / Autrice : Hongjun Ji
• Direction : Jean-Pierre Françoise
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 11/10/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Alain Haraux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Luc Gouzé, Armengol Gasull

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lactate

Cerveau

Équations différentielles non linéaires

Systèmes dynamiques

Biologie -- Modèles mathématiques

Mots clés libres

Systèmes dynamiques coopératifs

Systèmes continus par morceaux

Analyse qualitative

Métabolisme du lactate du cerveau

Dynamique de populations

Saisonnalité

Cooperative dynamical systems

Piecewise smooth system

Qualitative analysis

Brain lactate metabolism

Population dynamics

Seasonality

Résumé

Ce travail de thèse est constitué de nouvelles applications de la théorie des systèmes dynamiques coopératifs à l'étude de modèles en Biologie. Un premier modèle réduit d'une dynamique compartimentalisée couplant l'hémodynamique et le métabolisme énergétique cérébral. Nous avons proposé l'étude d'une extension naturelle de ce modèle comprenant deux compartiments intracellulaires distincts, l'un représentant un neurone et l'autre un astrocyte en plus du compartiment extracellulaire (aussi appelé interstitiel) et du compartiment capillaire. Nous avons commencé par observer que ce système (et même une extension de ce système à N neurones et A astrocytes) est un système coopératif. On a pu alors appliquer les techniques développées par Hal L. Smith et démontrer (en toutes dimensions) que l'unique point stationnaire est asymptotiquement stable. Dans la suite, nous avons considéré une variante du système réduit de dimension 2 dans laquelle on considère une dynamique différentiable par morceaux qui présente un saut lorsque la variable x ou la variable y dépasse un certain seuil. Ce système par morceaux permet l'introduction d'une autorégulation induite par un retour des concentrations de lactate extracellulaire ou capillaire sur le flux sanguin capillaire. De nouveaux phénomènes dynamiques sont découverts et nous discutons de l'existence et de la nature de deux points d'équilibre, d'un segment attractif, d'un équilibre frontalier et d'orbites périodiques en fonction du flux sanguin capillaire. Dans le dernier chapitre, on considère, en contraste avec les chapitres précédents, un système dynamique forcé. Ce système dynamique modélise une population dont l'environnement varie périodiquement dans le temps. Nous appliquons notre théorème à l'exemple d'une dynamique de population d'insectes (moustiques) avec un stade juvénile exposé à une compétition quadratique et un stade adulte. Cette dynamique est sujette à un forçage périodique saisonnier. En particulier, dans les pays tempérés, les moustiques sont très rares en hiver et connaissent une croissance explosive après les premiers épisodes pluvieux de la saison chaude.

This thesis work consists of new applications of the theory of cooperative dynamical systems to the study of models in Biology. A first model of compartmentalized dynamics coupling hemodynamics and cerebral energy metabolism. It has been proposed to study a natural extension of this model comprising two distinct intracellular compartments, one representing a neuron and the other an astrocyte in addition to the extracellular compartment (also called interstitial) and the capillary compartment. We began by observing that this system (even an extension of this system to N neurons and A astrocytes) is a cooperative system. It was then possible to apply the techniques developed by Hal L. Smith and demonstrate (in all dimensions) that the single stationary point is asymptotically stable. In the following, we have considered a variant of the reduced system of dimension 2 in which we consider a piecewise differentiable dynamic that has a jump when the variable x or the variable y exceeds a certain threshold. This piecewise system allows the introduction of an autoregulation induced by a feedback of the extracellular or capillary Lactate concentrations on the Capillary Blood Flow. New dynamical phenomena are uncovered and we discuss existence and nature of two equilibrium points, attractive segment, boundary equilibrium and periodic orbits depending of the Capillary Blood Flow. In the last chapter, we consider, in contrast with the preceding chapters, a forced dynamical system. This dynamical system models a population whose environment varies periodically over time. We apply our theorem to the example of a population dynamics of insects (for example mosquitoes) with a juvenile stage exposed to a quadratic competition and an adult stage. These dynamics are subject to a seasonal periodic forcing. In particular, in temperate countries, mosquitoes are very rare in winter and grow explosively after the first rainy episodes of the hot season.