Éléments finis hp discontinus pour problèmes aux valeurs propres elliptiques avec potentiels singuliers : avec applications en chimie quantique

Discontinuous hp finite element methods for elliptic eigenvalue problems with singular potentials : with applications to quantum chemistry

• Auteur / Autrice : Carlo Marcati
• Direction : Yvon Maday
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 29/10/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Eric Cancès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Benjamin Stamm, Francesca Rapetti, Albert Cohen
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Martin Costabel, Daniele Antonio Di Pietro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chimie quantique

Sobolev, Espaces de

Méthode de Galerkin Discontinue

Éléments finis, Méthode des

Problèmes aux limites non linéaires

Problèmes aux valeurs propres

Mots clés libres

Méthode des éléments finis hp/dG graduée

Galerkin discontinu

Problèmes aux valeurs propres non linéaires

Chimie quantique

Espaces de Sobolev à poids

Régularité elliptique

Hp/dG graded finite element method

Discontinuous Galerkin

Non linear eigenvalue problem

Quantum chemistry

Weighted Sobolev spaces

Elliptic regularity

Résumé

Dans cette thèse, on étudie des problèmes aux valeurs propres elliptiques avec des potentiels singuliers, motivés par plusieurs modèles en physique et en chimie quantique, et on propose une méthode des éléments finis de type hp discontinus (dG) adaptée pour l’approximation des modes propres. Dans ces modèles, arrivent naturellement des potentiels singuliers (associés à l’interaction entre noyaux et électrons). Notre analyse commence par une étude de la régularité elliptique dans des espaces de Sobolev à poids. On montre comment un opérateur elliptique avec potentiel singulier est un isomorphisme entre espaces de Sobolev à poids non homogènes et que l’on peut développer des bornes de type analytique à poids sur les solutions des problèmes aux valeurs propres associés aux opérateurs. La méthode hp/dG graduée qu’on utilise converge ainsi de façon exponentielle. On poursuit en considérant une classe de problèmes non linéaires représentatifs des applications. On montre que, sous certaines conditions, la méthode hp/dG graduée converge et que, si la non linéarité est de type polynomiale, on obtient les mêmes estimations de type analytique que dans le cas linéaire. De plus, on étudie la convergence de la valeur propre pour voir sous quelles conditions la vitesse de convergence est améliorée par rapport à celle des vecteurs propres. Pour tous les cas considérés, on effectue des tests numériques, qui ont pour objectif à la fois de valider les résultats théoriques, mais aussi d’évaluer le rôle des sources d’erreur non considérées dans l’analyse et d’aider dans la conception de méthode hp/dG graduée pour des problèmes plus complexes.

In this thesis, we study elliptic eigenvalue problems with singular potentials, motivated by several models in physics and quantum chemistry, and we propose a discontinuous Galerkin hp finite element method for their solution. In these models, singular potentials occur naturally (associated with the interaction between nuclei and electrons). Our analysis starts from elliptic regularity in non homogeneous weighted Sobolev spaces. We show that elliptic operators with singular potential are isomorphisms in those spaces and that we can derive weighted analytic type estimates on the solutions to the linear eigenvalue problems. The isotropically graded hp method provides therefore approximations that converge with exponential rate to the solution of those eigenproblems. We then consider a wide class of nonlinear eigenvalue problems, and prove the convergence of numerical solutions obtained with the symmetric interior penalty discontinuous Galerkin method. Furthermore, when the non linearity is polynomial, we show that we can obtain the same analytic type estimates as in the linear case, thus the numerical approximation converges exponentially. We also analyze under what conditions the eigenvalue converges at an increased rate compared to the eigenfunctions. For both the linear and nonlinear case, we perform numerical tests whose objective is both to validate the theoretical results, but also evaluate the role of sources of errors not considered previously in the analysis, and to help in the design of hp/dG graded methods for more complex problems.