Analyse, contrôle et optimisation d'EDP, application à la biologie et la thérapie du cancer

Analysis, control and optimization of PDEs, application to the biology and therapy of cancer

• Auteur / Autrice : Camille Pouchol
• Direction : Jean Clairambault, Michèle Sabbah
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/06/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Benoît Perthame
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Calvez, Franck Boyer, Emmanuel Trélat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Assia Benabdallah, Roberto Natalini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cellules cancéreuses

Équations aux dérivées partielles -- Théorie asymptotique

Commande, Théorie de la

Modèles mathématiques

Cancer -- Thérapeutique

Mots clés libres

Analyse

Contrôle

Optimisation

Cancérologie

Asymptotique

Numérique

Analysis

Control

Optimization

Oncology

Asymptotic

Numeric

Résumé

Cette thèse a pour origine un projet sur l'optimisation de la chimiothérapie, rassemblant trois directeurs: Jean Clairambault, médecin et mathématicien, Michèle Sabbah, biologiste du cancer, et Emmanuel Trélat, mathématicien spécialisé en contrôle optimal. Ainsi, l'essentiel du travail a été motivé par des questions provenant de la biologie ou la thérapie du cancer. Y répondre a nécessité l'utilisation et le développement d'outils empruntés à diverses disciplines mathématiques, parmi lesquelles l'analyse asymptotique d'équations aux dérivées partielles, leur contrôle optimal théorique et numérique. Ces développements ont posé de nouveaux problèmes mathématiques intéressants en eux-mêmes, avec des applications en dynamique adaptative, dynamique des populations, contrôle optimal ou encore analyse numérique. Plus précisément, nous proposons des résultats d'analyse asymptotique pour certaines équations ou systèmes de sélection/mutation et réaction/diffusion non-locaux. Le contrôle Dirichlet des équations monostable et bistable 1D est étudié dans le détail. On considère l'étude numérique et théorique d'un problème de contrôle optimal pour un système représentant des cellules saines et cancéreuses soumises à de la chimiothérapie. Enfin, l'existence d'instabilités de Turing pour un système de Keller-Segel est prouvée. Pour ces équations, nous développons des schémas numériques aux volumes finis qui préservent la positivité, la dissipation de l'énergie, la conservation de la masse et les états stationnaires.

This PhD originates from a joint project on chemotherapy optimisation, bringing together three advisors: Jean Clairambault, medical doctor and mathematician, Michèle Sabbah, cancer biologist, and Emmanuel Trélat, mathematician specialised in optimal control. Most of the work undertaken has thus been motivated by questions from cancer biology or therapy. Answering them has required using and further developing tools from several different mathematical areas, among them the asymptotic analysis for partial differential equations, and theoretical and numerical optimal control. These developments have in turn posed new mathematical problems, interesting in their own right, with applications in the mathematical fields of adaptive dynamics, population dynamics, optimal control or numerical analysis. More precisely, we propose results of asymptotic analysis for some selection/mutation and reaction/diffusion non-local equations or systems. The Dirichlet control towards homogeneous states of 1D monostable and bistable equations is investigated in detail. A numerical and theoretical analysis for an optimal control is performed on a system representing cancer and healthy cells exposed to chemotherapy. Finally, Turing instabilities are shown to be exhibited by some Keller-Segel equations, for which we design finite-volume numerical schemes preserving positivity, energy dissipation, mass conservation and steady states.