Une approche nouvelle de la modélisation mathématique et numérique en aéroacoustique par les équations de Goldstein : Applications en aéronautique

A new approach about mathematic and numerical modeling in aeroacoustic with Goldstein equations : Application in aeronautics

• Auteur / Autrice : Antoine Bensalah
• Direction : Patrick Joly, Jean-François Mercier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/07/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (Paris ; Rocquencourt) - École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1741 -....)
• Jury : Président / Présidente : Grégoire Allaire
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Joly, Jean-François Mercier, Grégoire Allaire, Bruno Després, Alexandre Ern, Isabelle Terrasse, Juliette Chabassier, Abderrahmane Bendali
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Després, Alexandre Ern

Mots clés

Mots clés contrôlés

Résonance

Aéroacoustique

Mots clés libres

SUPG

Caractère Fredholm

Équations de Goldstein

Méthode de Frobenius

Résonance

Aéroacoustique

Goldstein equations

Resonance

Fredholm property

Frobenius method

SUPG

Aeroacoustics

Résumé

La problématique du bruit fait par les réacteurs d'avions est un des enjeux majeurs de l’industrie aéronautique.C’est dans ce contexte que l’équipe du centre de recherche d'Airbus travaille au développement du code de calcul Actipole de propagation acoustique en présence d'un écoulement porteur.L'approche consiste en un couplage FEM-BEM entre la zone de propagation loin de l'avion où l'écoulement est supposé uniforme (BEM) et la zone plus proche où l'écoulement est supposé potentiel (FEM).Les équations de l'aéroacoustique en régime harmonique se réduisent alors à la simple équation scalaire d'Helmholtz convectée.Nous étudions une reformulation des équations d'Euler linéarisées, les équations de Goldstein, prenant en compte l'interaction entre l'acoustique et l'hydrodynamique, lorsque l'écoulement n'est plus potentiel, par l'ajout d'une inconnue hydrodynamique localisée aux zones fortement rotationnelles.Les équations de Goldstein peuvent être vues comme une perturbation de l'équation d'Helmholtz convectée, couplée à une équation de transport harmonique.Nos approches théorique et numérique restent dans le cadre de cette vision perturbative en étudiant dans une premier temps la résolution de l'équation de transport.Nous montrons ainsi que sous l'hypothèse d'un écoulement domaine-remplissant, l'équation de transport harmonique peut être inversée et sous contrainte d'un faible rotationnel, le caractère Fredholm de l'équation d'Helmholtz convectée se généralise aux équations de Goldstein.Le cas général est un problème ouvert et difficile, nous montrons que l'équation de transport n'est pas toujours inversible et possède des fréquences de résonance auxquelles les og solutionsfg{} tendent à être singulières le long de lignes de recirculation de l'écoulement.Nous montrons qu'il en est de même des équations couplées qui possèdent en plus des fréquences de résonance du transport d'autres résonances, dites critiques.Nous terminons cette thèse par une étude locale des singularités, par la méthode de Frobenius, des solutions modales obtenues par absorption limite, aux fréquences de résonance du transport et critiques, au voisinage de lignes résonantes, montrant que de telles solutions sortent alors du cadre variationnelle classiques.

The issue of the noise radiating by reactor engines is one of the most important in the aeronautic industry.It is in this context that the Aribus research department team is working on the code Actipole of acoustic propagation in flow.The approach used is a FEM-BEM coupling between areas far away of the aircraft where the flow is assumed to be uniform (BEM) and the the nearest area where the flow is assumed to be potential (FEM).Then, harmonic aeroacoustic equations simplify in the simpler scalar convected Helmholtz equation.We study the Goldstein formulation, equivalent to the Linearized Euler equations, taking into account the interaction between acoustics and hydrodynamics, where the flow is no more potential, by locally adding a hydrodynamic unknown in most vortical areas.Goldstein equations can be seen as perturbations of the convected Helmholtz equation, coupled with a harmonic transport equation.Our theoritical and numerical approachs take advantage of this perturbative view by studying in a first step the resolution of the transport equation.We then show that under the hypothesis of a domain-filling flow, the harmonic transport equation can be solved and under the assumption of a small vorticity, the Fredholm property of the convected Helmholtz equation can be generalized to Goldstein equations.The general case is an open problem and is much more difficult, we show that the transport equation is not always well-posed and admits some resonance frequencies for which og solutions fg{} tend to be singular along some closed streamlines of the flow.We show that the same phenomena occurs with the coupled equations which admit, in addition to resonance frequencies due to transport, other resonances so called critic resonances.We end this thesis by studying the local singularities, by Frobenius method, of modal solutions obtained using limitting absoprtion principle when we are at the resonance frequencies around a resonant streamline.We show that these solutions are then no more in the classical functionnal framework used for variational formulation.