Thèse soutenue

Sur quelques constructions de variétés de contact

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Auteur / Autrice : Fabio Gironella
Direction : Patrick Massot
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 13/07/2018
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
Laboratoire : Centre de mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne)
Jury : Président / Présidente : Claude Viterbo
Examinateurs / Examinatrices : Patrick Massot, Claude Viterbo, Vincent Colin, Thomas Vogel, Frédéric Bourgeois, Klaus Niederkrüger, Paul Gauduchon
Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Colin, Hansjoerg Geiges

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Cette thèse est subdivisée en deux parties.La première partie porte sur l’étude de la topologie de l’espace des contactomorphismes pour quelques exemples explicites de variétés de contact en grandes dimensions. Plus précisément, en utilisant des constructions et résultats dus à Massot, Niederkrüger et Wendl, on construit, en chaque dimension impaire, une infinité d’exemples de contactomorphismes de variétés de contact vrillées fermées qui sont lissement isotopes mais pas contact-isotopes à l’identité. On donne aussi,en toutes dimensions impaires, des exemples de variétés de contact tendues fermées qui admettent un contactomorphisme tel que tous ses itérées sont lissement isotopes mais pas contacto-isotopes à l’identité ; ceci généralise un résultat en dimension 3 dû à Ding et Geiges.Dans la deuxième partie, on construit des exemples de variétés de contact fermées en grandes dimensions avec des propriétés particulières. Ceci nous amène à l’existence de structures tendues virtuellement vrillées en toutes dimensions impaires, et au fait que chaque variété de contact fermée de dimension 3 se plonge dans une variété de contact tendue fermée de dimension 5 avec fibré normal trivial. Pour cela, on utilise des constructions dues à Bourgeois (sur des produits avec des tores) et à Geiges (sur des revêtements ramifiés). On passe de ces constructions à des définitions ;ceci permet de prouver un résultat d’unicité dans le cas des revêtements ramifiés de contact, et d’étudier leurs propriétés globales, en montrant qu’elles ne dépendent d’aucun choix auxiliaire fait dans les procédures. Un deuxième but permis par ces définitions est l’étude des relations entre ces constructions et les notions de livre ouvert porteur, due à Giroux, et de fibré de contact, due à Lerman. Par exemple, on donne une définition de structure de contact de Bourgeois qui est locale,inclue (strictement) les résultats de la construction de Bourgeois et permet de récupérer une classe d’isotopie de livres ouverts porteurs sur les fibres ; ceci suit d’une réinterprétation, inspirée par une idée de Giroux, des livres ouverts porteurs en termes de paires de champs de vecteurs de contact.