Simulation numérique d'écoulements compressibles complexes par des méthodes de type Lagrange-projection : applications aux équations de Saint-Venant

par Maxime Stauffert

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Christophe Chalons et de Samuel Kokh.

Soutenue le 05-10-2018

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Versailles (laboratoire) , Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de Mathématiques de Versailles (laboratoire) .

Le président du jury était Raphaël Loubère.

Le jury était composé de Christophe Chalons, Samuel Kokh, Raphaël Loubère, Christophe Berthon, Stéphane Clain, Anaïs Crestetto, Marie Hélène Vignal, Pascal Tremblin.

Les rapporteurs étaient Christophe Berthon, Stéphane Clain.

mots clés

• Équations de Saint-Venant
• Décomposition de type Lagrange-Projection
• Schéma numérique implicite-Explicite
• Grands pas de temps
• Bas nombre de Froude
• Propriété équilibre
• Barré de Saint-Venant, Adhémar-Jean-Claude (1797-1886) -- Méthodologie
• Lagrange, Joseph-Louis (1736-1813 ; mathématicien) -- Méthodologie
• Mach, Ernst (1838-1916) -- Méthodologie
• Dynamique des fluides
• Écoulement permanent
• Équations différentielles hyperboliques -- Solutions numériques
• Volumes finis, Méthodes de
• Galerkine, Méthodes de

Résumé

On étudie dans le cadre de la thèse une famille de schémas numériques permettant de résoudre les équations de Saint-Venant. Ces schémas utilisent une décomposition d'opérateur de type Lagrange-projection afin de séparer les ondes de gravité et les ondes de transport. Un traitement implicite du système acoustique (relié aux ondes de gravité) permet aux schémas de rester stable avec de grands pas de temps. La correction des flux de pression rend possible l'obtention d'une solution approchée précise quel que soit le régime d'écoulement vis-à-vis du nombre de Froude. Une attention toute particulière est portée sur le traitement du terme source qui permet la prise en compte de l'influence de la topographie. On obtient notamment la propriété dite équilibre permettant de conserver exactement certains états stationnaires, appelés état du "lac au repos". Des versions 1D et 2D sur maillages non-structurés de ces méthodes ont été étudiées et implémentées dans un cadre volumes finis. Enfin, une extension vers des méthodes ordres élevés Galerkin discontinue a été proposée en 1D avec des limiteurs classiques ainsi que combinée avec une boucle MOOD de limitation a posteriori.

mots clés

• Shallow water equations
• Lagrange-Projection type splitting
• Implicit-Explicit numerical scheme
• Large time step
• Low Froude
• Well-Balanced property

Titre traduit

Numerical simulation of complex compressible flows by Lagrange-projection type methods : applications to shallow water equations

Résumé

In this thesis we study a family of numerical schemes solving the shallow water equations system. These schemes use a Lagrange-projection like splitting operator technique in order to separate the gravity waves and the transport waves. An implicit-explicit treatment of the acoustic system (linked to the gravity waves) allows the schemes to stay stable with large time step. The correction of the pressure fluxes enables the obtain of a precise approximation solution whatever the regime flow is with respect to the Froude number. A particular attention has been paid over the source term treatment which permits to take the topography into account. We especially obtain the so-called well-balanced property giving the exact conservation of some steady states, namely the "lake at rest" state. 1D and 2D versions of this methods have been studied and implemented in the finite volumes framework. Finally, a high order discontinuous Galerkin extension has been proposed in 1D with classical limiters along with a combined MOOD loop a posteriori limiting strategy.