Estimation de la vitesse de retour à l'équilibre dans les équations de Fokker-Planck

Estimation of the rate of return to equilibrium in Fokker-Planck's equations

• Auteur / Autrice : Mamadou Ndao
• Direction : Otared Kavian, Stéphane Mischler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/07/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles - Laboratoire de Mathématiques de Versailles / LMV
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Horsin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuelle Crépeau, Daniela Tonon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohamed Ali Jendoubi, Miguel Escobedo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles paraboliques -- Théorie asymptotique

Vitesse de convergence (analyse numérique)

Théorie ergodique

Systèmes dynamiques non autonomes

Fokker-Planck, Équation de

Mots clés libres

Estimation

Vitesse

Retour à l'Équilibre

Fokker-Planck

Semi-groupe

Théorème de point fixe

Stabilité asymptotique

Taux de convergence

Existence locale et globale

Équations des milieux granulaires

Estimation

Rate

Equilibrium

Fokker-Planck

Semigroups

Fixed point theorem

Asymptotical stability

Rate of convergence

Locale and global existence

Granular media equation

Résumé

Ce mémoire de thèse est consacré à l’équation de Fokker-Planckpartial_ f=∆f+div(Ef).Il est subdivisé en deux parties :une partie linéaire et une partie non linéaire. Dans la partie linéaire on considère un champ de vecteur E(x) dépendant seulement de x. Cette partie est constituée des chapitres 3, 4 et 5. Dans le chapitre 3 on montre que l’opérateur linéaire Lf :=∆ f + div(E f ) est le générateur d’un semi-groupe fortement continu (SL(t))_{t≥0} dans tous les espaces L^p. On y établit également que le semi-groupe (SL(t))_{t≥0} est positif et ultracontractif. Dans le chapitre 4 nous montrons comment est qu’une décomposition adéquate de l’opérateur L permet d’établir certaines propriétés du semi-groupe (SL(t))_{t≥0} notamment sa bornitude. Le chapitre 5 est consacré à l’existence d’un état d’équilibre. De plus on y montre que cet état d’équi- libre est asymptotiquement stable. Dans la partie non linéaire on considère un champ de vecteur de la forme E(x,f) := x+nabla (a*f) ou a et f sont des fonctions assez régulières et * est l’opérateur de convolution. Cette parties est contituée des chapitre 6 et 7. Dans le chapitre 6 nous établissons que poura appartenant à W^{2,infini}_locl’équation de Fokker-Planck non linéaire admet une unique solution locale dans l’espace L^2_{K_alpha} (R^d). Dans le dernier chapitre nous montrons que le problème non linéaire admet une solution globale. De plus cette solution dépend continument des données.

This thesis is devoted to the Fokker-Planck équation partial_t f =∆f + div(E f).It is divided into two parts. The rst part deals with the linear problem. In this part we consider a vector E(x) depending only on x. It is composed of chapters 3, 4 and 5. In chapter 3 we prove that the linear operator Lf :=∆f + div(Ef ) is an in nitesimal generator of a strong continuous semigroup (SL(t))_{t≥0}. We establish also that (SL(t))_{t≥0} is positive and ultracontractive. In chapter 4 we show how an adequate decomposition of the linear operator L allows us to deduce interesting properties for the semigroup (SL(t))_{t≥0}. Indeed using this decomposition we prove that (SL(t))_{t≥0} is a bounded semigroup. In the last chapter of this part we establish that the linear Fokker-Planck admits a unique steady state. Moreover this stationary solution is asymptotically stable.In the nonlinear part we consider a vector eld of the form E(x, f ) := x +nabla (a *f ), where a and f are regular functions. It is composed of two chapters. In chapter 6 we establish that fora in W^{2,infini}_locthe nonlinear problem has a unique local solution in L^2_{K_alpha}(R^d); . To end this part we prove in chapter 7 that the nonlinear problem has a unique global solution in L^2_k(R^d). This solution depends continuously on the data.