Équations d'évolution stochastiques locales et non locales dans des problèmes de transition de phase.

Local and Nonlocal Stochastic Evolution Equations in Phase Transition Problems.

• Auteur / Autrice : Perla El kettani
• Direction : Danielle Hilhorst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/11/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Annie Millet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Danielle Hilhorst, Annie Millet, Yasuhito Miyamoto, Francesco Russo, Robert C. Dalang, Stefano Olla

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Équations de réaction-diffusion

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Equation de r´eaction-diffusion non locale stochastique

Problème de champ de phase stochastique

Méthode de monotonie stochastique

Méthode de compacité stochastique

Stochastic nonlocal reaction-Diffusion equation

Stochastic phase field problem

Stochastic monotonicity method

Stochastic compactness method

Résumé

Le but de cette thèse est de développer des méthodes de démonstration d’existence et d’unicité de solutions d’équations d’évolution stochastiques locales ou non locales dans les problèmes de transition de phase. Au chapitre 1, nous étudions un problème à valeur initiale pour une ´équation de réaction-diffusion stochastique non locale avec des conditions aux limites de Neumann homogènes dans un ouvert borné de ℝn de frontière suffisamment régulière. On considère le cas d’un opérateur elliptique non linéaire assez général et on suppose que le bruit est additif et induit par un processus Q-Wiener. Le problème déterministe modélise la séparation de phases dans des alliages binaires. La démonstration d’existence de la solution du problème stochastique est basée sur un changement de fonction qui fait intervenir la solution de l’équation de la chaleur stochastique avec un terme de diffusion non linéaire. On est ainsi conduit à l'étude d’un problème sans terme de bruit, ce qui facilite l’application de la méthode de monotonie pour identifier la limite des termes non linéaires. Au chapitre 2, nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution d’un système de champ de phase stochastique avec des bruits multiplicatifs induits par des processus Q-Wiener. Les problèmes de champ de phase sont utilisés pour d´écrire des modèles où deux phases distinctes interviennent comme par exemple l’eau et la glace. Dans ce but, nous appliquons la méthode de Galerkin et nous établissons des estimations a priori pour la solution approchée. Nous nous appuyons ensuite sur la méthode de monotonie stochastique pour identifier la limite du terme non linéaire. Finalement, au chapitre 3, nous démontrons l’existence et l’unicité d’une solution trajectorielle en dimension d’espace d ≤ 6 pour l’équation d’Allen-Cahn non locale stochastique avec un bruit multiplicatif induit par un processus Q-Wiener. La présence d’une variable supplémentaire empêche l’application des théorèmes de compacité usuels utilisés dans les problèmes déterministes. C’est ce qui nous amène à appliquer la méthode de compacité stochastique.

The aim of this thesis is to develop methods for proving the existence and uniqueness of solutionsof local and nonlocal stochastic evolution equations in phase transition problems. In chapter 1, we studyan initial value problem for a nonlocal stochastic reaction-diffusion equation with homogeneous Neumannboundary conditions in an open bounded set of ℝn, with a smooth boundary. We consider the case of ageneral nonlinear elliptic operator and we suppose that the noise is additive and induced by a Q-Wiener process.The deterministic problem with a linear diffusion term is used to model phase separation in a binarymixture. The proof of existence for the stochastic problem is based on a change of function which involvesthe solution of the stochastic heat equation with a nonlinear diffusion term. We obtain a problem withoutthe noise term. This simplifies the application of the monotonicity method, which we use to identify thelimit of the nonlinear terms. In chapter 2, we prove the existence and uniqueness of the solution for a phasefield problem with multiplicative noises induced by Q-Wiener processes. This problem models for instancethe process of melting and solidification. To that purpose we apply the Galerkin method and derive a prioriestimates for the approximate solutions. The last step is to identify the limit of the nonlinear terms whichwe do by the so-called stochastic monotonicity method. Finally, in chapter 3, we prove the existence anduniqueness of a pathwise solution in space dimension up to 6 for the stochastic nonlocal Allen-Cahn equationwith a multiplicative noise induced by a Q-Wiener process. The usual compactness method for deterministicproblems cannot be applied in a stochastic context because of the additional probability variable. Therefore,we apply the stochastic compactness method.