Algebraic area distribution of two-dimensional random walks and the Hofstadter model
Distribution de l'aire algébrique enclose par les marches aléatoires bi-dimensionnelles et le modèle de Hofstadter
Résumé
This thesis is about the Hofstadter model, i.e., a single electron moving on a two-dimensional lattice coupled to a perpendicular homogeneous magnetic field. Its spectrum is one of the famous fractals in quantum mechanics, known as the Hofstadter's butterfly. There are two main subjects in this thesis: the first is the study of the deep connection between the Hofstadter model and the distribution of the algebraic area enclosed by two-dimensional random walks. The second focuses on the distinctive features of the Hofstadter's butterfly and the study of the bandwidth of the spectrum. We found an exact expression for the trace of the Hofstadter Hamiltonian in terms of the Kreft coefficients, and for the higher moments of the bandwidth.This thesis is organized as follows. In chapter 1, we begin with the motivation of our work and a general introduction to the Hofstadter model as well as to random walks will be presented. In chapter 2, we will show how to use the connection between random walks and the Hofstadter model. A method to calculate the generating function of the algebraic area distribution enclosed by planar random walks will be explained in details. In chapter 3, we will present another method to study these issues, by using the point spectrum traces to recover the full Hofstadter trace. Moreover, the advantage of this construction is that it can be generalized to the almost Mathieu operator. In chapter 4, we will introduce the method which was initially developed by D.J.Thouless to calculate the bandwidth of the Hofstadter spectrum. By following the same logic, I will show how to generalize the Thouless bandwidth formula to its n-th moment, to be more precisely defined later.
Cette thèse porte sur le modèle de Hofstadter i.e., un électron qui se déplace sur un réseau carré couplé à un champ magnétique homogène et perpendiculaire au réseau. Son spectre en énergie est l'un des célèbres fractals de la physique quantique, connu sous le nom "le papillon de Hofstadter". Cette thèse consiste en deux parties principales: la première est l'étude du lien profond entre le modèle de Hofstadter et la distribution de l’aire algébrique entourée par les marches aléatoires sur un réseau carré bidimensionnel. La seconde partie se concentre sur les caractéristiques spécifiques du papillon de Hofstadter et l'étude de la largeur de bande du spectre. On a trouvé une formule exacte pour la trace de l'Hamiltonien de Hofstadter en termes des coefficients de Kreft, et également pour les moments supérieurs de la largeur de bande.Cette thèse est organisée comme suit. Dans le chapitre 1, on commence par la motivation de notre travail. Une introduction générale du modèle de Hofstadter ainsi que des marches aléatoires sera présentée. Dans le chapitre 2, on va montrer comment utiliser le lien entre les marches aléatoires et le modèle de Hofstadter. Une méthode de calcul de la fonction génératrice de l'aire algébrique entourée par les marches aléatoires planaires sera expliquée en détail. Dans le chapitre 3, on va présenter une autre méthode pour étudier ces questions en utilisant le point de vue "point spectrum traces" et retrouver la trace de Hofstadter complète. De plus, l'avantage de cette construction est qu'elle peut être généralisée au cas de "l'amost Mathieu opérateur". Dans le chapitre 4, on va introduire la méthode développée par D.J.Thouless pour le calcul de la largeur de bande du spectre de Hofstadter. En suivant la même logique, on va montrer comment généraliser la formule de la largeur de bande de Thouless à son n-ième moment, à définir plus précisément ultérieurement.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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