Problèmes spectraux avec conditions de Robin sur des domaines à coins du plan

Spectral problems with Robin boundary conditions on planar domains with corners

• Auteur / Autrice : Magda Khalile
• Direction : Konstantin Pankrashkin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/09/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Nonnenmacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Konstantin Pankrashkin, Stéphane Nonnenmacher, Virginie Bonnaillie, Olaf Post, Monique Dauge, Françoise Bailly-Truc
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Virginie Bonnaillie, Iosif Polterovich

Mots clés

Mots clés contrôlés

Conditions de Robin

Polygones

Laplacien

Problèmes aux valeurs propres

Développements asymptotiques

Géométrie spectrale

Mots clés libres

Géometrie spectrale

Analyse asymptotique

Laplacien

Condition de bord de Robin

Coins

Spectral geometry

Asymptotic analysis

Laplacian

Robin boundary condition

Corners

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés spectrales du Laplacien avec la condition de bord de Robin attractive sur des domaines du plan à coins. Notre but est de comprendre l’influence des coins convexes sur l’asymptotique des valeurs propres de cet opérateur lorsque le paramètre de Robin est grand. Nous montrons en particulier que l’asymptotique des premières valeurs propres de Robin sur des polygones curvilignes est déterminée par des opérateurs modèles : les Laplaciens agissant sur les secteurs tangents au domaine. Pour une certaine classe de polygones droits, nous montrons l’existence d’un opérateur effectif sur le bord du domaine qui détermine l’asymptotique des valeurs propres suivantes. Enfin, des asymptotiques de Weyl pour différents seuils dépendant du paramètre de Robin sont obtenues.

In this thesis, we are interested in the spectral properties of the Laplacian with the attractive Robin boundary condition on planar domains with corners. The aim is to understand the influence of the convex corners on the spectral properties of this operator when the Robin parameter is large. In particular, we show that the asymptotics of the first Robin eigenvalues on curvilinear polygons is determined by model operators: the Robin Laplacians acting on infinite sectors. For a particular class of polygons with straight edges, we prove the existence of an effective operator acting on the boundary of the domain and determining the asymptotics of the further eigenvalues. Finally, some Weyl-type asymptotics for different thresholds depending on the Robin parameter are obtained.