Algèbres de Hall cohomologiques et variétés de Nakajima associées a des courbes

Cohomological Hall algebras and Nakajima varieties associated to curves

• Auteur / Autrice : Alexandre Minets
• Direction : Olivier Schiffmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 03/09/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Eric Vasserot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Schiffmann, Eric Vasserot, Andrei Neguț, Ben Davison, Philip Boalch
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Andrei Neguț, Davesh Maulik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Groupes quantiques

Représentations d'algèbres de Lie

Mots clés libres

Fibrés de Higgs

Théorie de représentations

Algèbres de battage

Algèbres de Hall

Espaces de modules

Moduli spaces

Higgs bundles

Representation theory

Hall algebras

Moduli spaces

Résumé

Pour toute courbe projective lisse C et théorie homologique orientée de Borel-Moore libre A, on construit un produit associatif de type Hall sur les A-groupes du champ de modules des faisceaux de Higgs de torsion sur C.On montre que l'algèbre AHa0C qu'on obtient admet une présentation de battage naturelle, qui est fidèle dans le cas où A est l'homologie de Borel-Moore usuelle. On introduit de plus les espaces de modules des triplets stables M(d,n), fortement inspirés par les variétés de carquois de Nakajima.Ces espaces de modules sont des variétés lisses symplectiques, et admettent une autre caractérisation comme les espaces de modules de faisceaux sans torsion stables encadrés sur P(T*C). De plus, on munit leurs A-groupes avec une action de AHa0C, qui généralise les opérateurs de modification ponctuelle de Nakajima sur l'homologie des schémas de Hilbert de T*C.

For a smooth projective curve C and a free oriented Borel-Moore homology theory A, we construct a Hall-like associative product on the A-theory of the moduli stack of Higgs torsion sheaves on C. We show that the resulting algebra AHa0C admits a natural shuffle presentation, and prove it is faithful when A is replaced with usual Borel-Moore homology groups.We also introduce moduli spaces of stable triples M(d,n), heavily inspired by Nakajima quiver varieties.These moduli spaces are shown to be smooth symplectic varieties, which admit another characterization as moduli of framed stable torsion-free sheaves on P(T*C). Moreover, we equip their A-theory with an AHa0C-action, which generalizes Nakajima's raising operators on the homology of Hilbert schemes of points on T*C.