Instabilité et croissance des normes de Sobolev pour certaines EDP hamiltoniennes

Instability and growth of Sobolev norms for certain Hamiltonian PDEs

• Auteur / Autrice : Joseph Thirouin
• Direction : Patrick Gérard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 02/07/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Sandrine Grellier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Gérard, Sandrine Grellier, Thomas Kappeler, Nikolay Tzvetkov, Nicolas Burq, Benoît Grébert
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thomas Kappeler, Nikolay Tzvetkov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solitons

Systèmes intégrables

Transfert d'énergie

Systèmes hamiltoniens

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

EDP hamiltonienne

Transfert d'énergie vers les hautes fréquences

Complète intégrabilité

Ondes progressives

Équation de Szegő

Paire de Lax

Hamiltonian PDE

High-Frequency energy transfer

Complete integrability

Traveling waves

Szegő equation

Lax pair

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de solutions globales et régulières de certaines EDP hamiltoniennes, du point de vue de la croissance de leurs normes de Sobolev. Un tel phénomène traduit une modification de la répartition de l'énergie dans l'espace des fréquences, appelée parfois ''turbulence faible''. On étudie d'abord une équation d'évolution non-linéaire où intervient un laplacien fractionnaire, et l'on prouve des estimées a priori sur la vitesse de croissance des normes de Sobolev. On introduit ensuite une équation où de telles estimées sont optimales : une équation de Szegő, intégrable, avec une non-linéarité quadratique, et où certaines solutions régulières croissent à vitesse exponentielle tout en restant bornées dans l'espace d'énergie. On classifie les ondes progressives de cette équation de Szegő quadratique, et l'on met en évidence l'instabilité d'une partie d'entre elles. Enfin, on exhibe pour cette équation une hiérarchie de lois de conservation, qui permet d'étudier plus précisément les solutions rationnelles turbulentes.

In this thesis we study global smooth solutions of certain Hamiltonian PDEs, in order to capture the possible growth of their Sobolev norms. Such a phenomenon is typical for what is sometimes called ''weak turbulence'' : a change in the distribution of energy between Fourier modes. We first study a nonlinear evolution equation involving a fractional Laplacian, and we prove a priori estimates on the growth of Sobolev norms. We then introduce an equation where these estimates turn out to be optimal : an integrable Szegő equation with a quadratic nonlinearity, which admits exponentially growing smooth solutions that remain bounded in the energy space. We classify the traveling wave solutions of this quadratic Szegő equation, and show that some of them are unstable. Eventually we find a hierarchy of conservation laws for this equation, which leads us into a deeper study of rational turbulent solutions.