Formules de Weyl par réduction de dimension : application à des Laplaciens électromagnétiques

Weyl formulae by reduction of dimension : application to electromagnetic Laplacians

• Auteur / Autrice : Pierig Keraval
• Direction : Nicolas Raymond, Karel Pravda-Starov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 20/12/2018
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : ComuE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Born-Oppenheimer, Approximation de

Théorie spectrale (mathématiques)

Analyse semiclassique

Mots clés libres

Analyse semi-Classique

Théorie spectrale

Approximation de Born-Oppenheimer

Laplacien magnétique

Laplacien de Robin

Semiclassical analysis

Spectral theory

Born-Oppenheimer approximation

Magnetic Laplacian

Robin Laplacian

Résumé

La thèse consiste en l’étude spectrale d’opérateurs partiellement semi-classiques. Quand la géométrie du problème suggère une localisation anisotrope des fonctions propres associées aux basses énergies (bord du domaine, lieu d’annulation du champs magnétique), le développement local de l’opérateur amène naturellement à une structure à double échelle. Il s'agit, via un schéma de réduction ''à la Born-Oppenheimer'', utilisant le formalisme du calcul pseudodifférentiel pour des symboles à valeur opérateur, de montrer l’existence d’un opérateur effectif à symbole scalaire. On en déduit ensuite des formules de Weyl pour le comptage des basses valeurs propres. Cette stratégie est appliquée : au Laplacien de Robin sur un domaine borné, en dimension quelconque et au Laplacien magnétique dans R², dans le cas où le champ magnétique s’annule sur une courbe fermée.

The thesis consists in the spectral study of partially semiclassical operators. When the geometry of the problem suggests an anisotropic localization of the eigenfunctions associated to low energies (boundary of the domain, vanishing magnetic field), the local expansion of the operator naturally brings to a doublescale structure. Via a reduction scheme ''à la Born-Oppenheimer'', using the formalism of pseudodifferential calculus for operator-valued symbols, we can show the existence of an effective operator, with scalar symbol. Then, we deduce Weyl formulae for the number of low-lying eigenvalues. This strategy is applied : to the Robin Laplacian on a bounded domain, in any dimension and to the magnetic Laplacian in R², in the case where the magnetic field vanishes on a closed curve.