Approches de topologie algébrique pour l'analyse d'images

Algebraic topology approaches for image analysis

• Auteur / Autrice : Rabih Assaf
• Direction : Valeriu Vrabie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : MA - Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 19/01/2018
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences du Numérique et de l’Ingénieur (Reims, Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Recherche en Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (CRESTIC) EA 3804 (Reims, Marne)
• Jury : Président / Présidente : Stéphanie Salmon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Valeriu Vrabie, Alban Goupil, Mohammad Kacim
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michèle Rombaut, Ali Wehbe

Mots clés

Mots clés contrôlés

Infographie

Topologie algébrique

Mots clés libres

Topologie algébrique

Homologie persistante

Théorie de faisceaux

Segmentation d'images

Segmentation d'objets

Algebraic Topology

Persistent homology

Sheaf theory

Image segmentation

Object segmentation

Résumé

La topologie algébrique, bien que domaine abstrait des mathématiques, apporte de nouveaux concepts pour le traitement d'images. En effet, ces tâches sont complexes et restent limitées par différents facteurs tels que la nécessité d’utiliser un paramétrage, l'influence de l'arrière-plan ou la superposition d'objets. Nous proposons ici des méthodes dérivées de la topologie algébrique qui diffèrent des méthodes classiques de traitement d'images par l’intégration d’informations locales vers des échelles globales grâce à des invariants topologiques. Une première méthode de segmentation d'images a été développée en ajoutant aux caractéristiques statistiques classiques d’autres de nature topologique calculées par homologie persistante. Une autre méthode basée sur des complexes topologiques a été développée dans le but de segmenter les objets dans des images 2D et 3D. Cette méthode segmente des objets dans des images multidimensionnelles et fournit une réponse à certains problèmes habituels en restant robuste vis à vis du bruit et de la variabilité de l'arrière-plan. Son application aux images de grande taille peut se faire en utilisant des superpixels. Nous avons également montré que l'homologie relative détecte le mouvement d’objets dans une séquence d'images qui apparaissent et disparaissent du début à la fin. Enfin, nous posons les bases d’un ensemble de méthodes d'analyse d'images basé sur la théorie des faisceaux qui permet de fusionner des données locales en un ensemble cohérent. De plus, nous proposons une seconde approche qui permet de comprendre et d'interpréter la structure d’une image en utilisant les invariants fournis par la cohomologie des faisceaux.

Algebraic topology, which is often appears as an abstract domain of mathematics, can bring new concepts in the execution of the image processing tasks. Indeed, these tasks might be complex and limited by different factors such as the need of prior parameters, the influence of the background, the superposition of objects. In this thesis, we propose methods derived from algebraic topology that differ from classical image processing methods by integrating local information at global scales through topological invariants. A first method of image segmentation was developed by adding topological characteristics calculated through persistent homology to classical statistical characteristics. Another method based on topological complexes built from pixels was developed with the purpose to segment objects in 2D and 3D images. This method allows to segment objects in multidimensional images but also to provide an answer to known issues in object segmentation remaining robust regarding the noise and the variability of the background. Our method can be extended to large scale images by using the superpixels concept. We also showed that the relative version of homology can be used effectively to detect the movement of objects in image sequences. This method can detect and follow objects that appear and disappear in a video sequence from the beginning to the end of the sequence. Finally, we lay the foundations of a set of methods of image analysis based on sheaf theory that allows the merging of local data into a coherent whole. Moreover, we propose a second approach that allows to understand and interpret scale analysis and localization by using the sheaves cohomology.