Thèse soutenue

Quelques propriétés et applications du contrôle en temps minimal

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Auteur / Autrice : Michaël Orieux
Direction : Jacques FéjozJean-Baptiste Caillau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences
Date : Soutenance le 27/11/2018
Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
Jury : Président / Présidente : Guillaume Carlier
Examinateurs / Examinatrices : Jean-Baptiste Caillau, Guillaume Carlier, Jean-Pierre Marco, Andrei A. Agrachev, Francesca Carlotta Chittaro, Robert H. Roussarie
Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Pierre Marco, Andrei A. Agrachev

Résumé

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Cette thèse contribue à l'étude en temps minimal des systèmes de contrôle affines. Les systèmes dépendant du contrôle de manière affine sont naturellement présents en physique, et apparaissent dès qu'on s'intéresse aux systèmes mécaniques. Ils sont, pour autant, bien plus généraux. Dans ce manuscrit on traite les singularités de tels systèmes, en minimisant le temps final, celui où l'objectif est atteint. Une étude précise du flot extrémal de ces systèmes est faite, d'abord pour les systèmes mécaniques, puis en général, et l'on donne une formulation à paramètre du système extrémal. Cela nous permet d'obtenir une régularité précise pour le flot, qui s'avère être lisse sur une stratification au voisinage du lieu singulier. Nous appliquons ensuite les résultats au problème du transfert d'orbite d'un engin spatial, et contrôlons le nombre singularités présentes au cours d'un transfert. Nous changeons ensuite de point de vue pour s'intéresser aux conditions d'optimalités des extrémales étudiées, et donnons un critère d'optimalité local, calculable par un test numérique simple. Il est enfin question d'étudier ces singularités du point de vue de l'intégrabilité des systèmes Hamiltoniens : nous prouvons ainsi que le problème du transfert d'orbite à deux corps en temps minimal n'est pas intégrable au sens de Liouville.