Solutions Périodiques Symétriques dans le Problème de N-Vortex

Symmetric Periodic Solutions in the N-Vortex Problem

• Auteur / Autrice : Qun Wang
• Direction : Jacques Féjoz, Eric Séré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 12/12/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Alain Chenciner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Chenciner, Alberto Abbondandolo, Thomas Bartsch, Ke Zhang
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alberto Abbondandolo, Thomas Bartsch
• DOI : 10.70675/ef67c763z6803z4f17za006za5ab2a01a760

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hamiltoniens

Orbite périodique

Tourbillons (mécanique des fluides)

Mots clés libres

Système Hamiltonien

Orbite Périodique

N-Tourbillon

Symétrie

Hamiltonian System

Periodic Solution

N-Vortex

Symmetry

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude des solutions périodiques du problème des N-tourbillons à vorticité positive. Ce problème, formulé par Helmholtz il y a plus de 160 ans, possède une histoire très riche et reste un domaine de recherche très actif. Pour un nombre quelconque de tourbillons et sans contrainte sur les vorticités, ce système n’est pas intégrable au sens de Liouville : on ne peut trouver de solution périodique non triviale par des méthodes explicites. Dans cette thèse, à l’aide de méthodes variationnelles, nous prouvons l’existence d’une infinité de solutions périodiques non triviales pour un système de N tourbillons à vorticités positives. De plus, lorsque les vorticités sont des nombres rationnels positifs, nous montrons qu’il n’existe qu’un nombre fini de niveaux d’énergie sur lesquels un équilibre relatif pourrait exister. Enfin, pour un système de N-tourbillons identiques, nous montrons qu’il existe une infinité de chorégraphies simples.

This thesis focuses on the study of the periodic solutions of the N-vortex problem of positive vorticity. This problem was formulated by Helmholtz more than 160 years ago and remains an active research field. For an undetermined number of vortices and general vorticities the system is not Liouville integrable and periodic solutions cannot be determined explicitly, except for relative equilibria. By using variational methods, we prove the existence of infinitely many non-trivial periodic solutions for arbitrary N and arbitrary positive vorticities. Moreover, when the vorticities are positive rational numbers, we show that there exists only finitely many energy levels on which there might exist a relative equilibrium. Finally, for the identical N-vortex problem, we show that there exists infinitely many simple choreographies.