Contributions à la théorie des jeux à champ moyen

Optimal stopping problem in mean field games

• Auteur / Autrice : Charles Bertucci
• Direction : Pierre-Louis Lions
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 11/12/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvain Sorin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Louis Lions, Sylvain Sorin, Yves Achdou, Alessio Porretta, Pierre Cardaliaguet, Jean-Michel Lasry, Italo Capuzzo Dolcetta, Alain Bensoussan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Achdou, Alessio Porretta

Mots clés

Mots clés contrôlés

Inégalités variationnelles

Théorie du champ moyen

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Edp

Jeux à champ moyen

Inéquations variationnelles

Pde

Mean field games

Variational inequalities

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. On étudie dans un premier temps des modèles d’arrêt optimal et de contrôle impulsionnel en l’absence de bruit commun. On construit pour ces modèles une notion de solution adaptée pour laquelle on prouve des résultats d’existence et d’unicité sous des hypothèses naturelles. Ensuite, on s’intéresse à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. On étudie la limite de ces modèles vers des modèles d’évolution pures lorsque l’anticipation des joueurs tend vers 0. On montre l’unicité des équilibres pour des systèmes fortement couples (couples par les stratégies) sous certaines hypothèses. On prouve ensuite certains résultats de régularités sur une ”master equation” qui modélise un jeu à champ moyen avec bruit commun dans un espace d’états discret. Par la suite on présente une généralisation de l’algorithme standard d’Uzawa et on l’applique à la résolution numérique de certains modèles de jeux à champ moyen, notamment d’arrêt optimal ou de contrôle impulsionnel. Enfin on présente un cas concret de jeu à champ moyen qui provient de problèmes faisant intervenir un grand nombre d’appareils connectés dans les télécommunications.

This thesis is concerned with new models of mean field games. First, we study models of optimal stopping and impulse control in the case when there is no common noise. We build an appropriate notion of solutions for those models. We prove the existence and the uniqueness of such solutions under natural assumptions. Then, we are interested with several properties of mean field games. We study the limit of such models when the anticipation of the players vanishes. We show that uniqueness holds for strongly coupled mean field games (coupled via strategies) under certain assumptions. We then prove some regularity results for the master equation in a discrete state space case with common noise. We continue by giving a generalization of Uzawa’s algorithm and we apply it to solve numerically some mean field games, especially optimal stopping and impulse control problems. The last chapter presents an application of mean field games. This application originates from problems in telecommunications which involve a huge number of connected devices.