Analyse numérique et théorique de la super-résolution sans grille

Theoretical and Numerical Analysis of Super-Resolution Without Grid

• Auteur / Autrice : Quentin Denoyelle
• Direction : Gabriel Peyré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 09/07/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Laure Blanc-Féraud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gabriel Peyré, Laure Blanc-Féraud, Martin Burger, Carlos Fernandez-Granda, Claire Boyer, Cédric Herzet, Vincent Duval, Charles Soussen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Burger, Carlos Fernandez-Granda
• DOI : 10.70675/d6edb032za04fz43e8za1d5z598f92d0485d

Mots clés

Mots clés contrôlés

Microscopie à super-résolution

Représentation parcimonieuse

Microscopie de fluorescence

Astigmatisme

Mots clés libres

Super-Résolution

Parcimonie

Blasso

Lasso

Variation totale

Mesures positives

Reconstruction exacte du support

Algorithme de Frank-Wolfe

Microscopie par fluorescence

Palm/storm

Ma-Tirf

Double-Hélice

Astigmatisme

Super-Resolution

Sparsity

Blasso

Lasso

Total variation

Positive measures

Exact support recovery

Frank-Wolfe algorithm

Fluorescence microscopy

Palm/storm

Ma-Tirf

Double-Helix

Astigmatism

Résumé

Cette thèse porte sur l'utilisation du BLASSO, un problème d'optimisation convexe en dimension infinie généralisant le LASSO aux mesures, pour la super-résolution de sources ponctuelles. Nous montrons d'abord que la stabilité du support des solutions, pour N sources se regroupant, est contrôlée par un objet appelé pré-certificat aux 2N-1 dérivées nulles. Quand ce pré-certificat est non dégénéré, dans un régime de petit bruit dont la taille est contrôlée par la distance minimale séparant les sources, le BLASSO reconstruit exactement le support de la mesure initiale. Nous proposons ensuite l'algorithme Sliding Frank-Wolfe, une variante de l'algorithme de Frank-Wolfe avec déplacement continu des amplitudes et des positions, qui résout le BLASSO. Sous de faibles hypothèses, cet algorithme converge en un nombre fini d'itérations. Nous utilisons cet algorithme pour un problème 3D de microscopie par fluorescence en comparant trois modèles construits à partir des techniques PALM/STORM.

This thesis studies the noisy sparse spikes super-resolution problem for positive measures using the BLASSO, an infinite dimensional convex optimization problem generalizing the LASSO to measures. First, we show that the support stability of the BLASSO for N clustered spikes is governed by an object called the (2N-1)-vanishing derivatives pre-certificate. When it is non-degenerate, solving the BLASSO leads to exact support recovery of the initial measure, in a low noise regime whose size is controlled by the minimal separation distance of the spikes. In a second part, we propose the Sliding Frank-Wolfe algorithm, based on the Frank-Wolfe algorithm with an added step moving continuously the amplitudes and positions of the spikes, that solves the BLASSO. We show that, under mild assumptions, it converges in a finite number of iterations. We apply this algorithm to the 3D fluorescent microscopy problem by comparing three models based on the PALM/STORM technics.