Mosaïques de Poisson-Voronoï sur une variété riemannienne

Poisson-Voronoi tessellation in a Riemannian manifold

• Auteur / Autrice : Aurélie Chapron
• Direction : Nathanaël Enriquez, Pierre Calka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
• Date : Soutenance le 20/11/2018
• Etablissement(s) : Paris 10
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Connaissance, langage, modélisation (Nanterre, Hauts-de-Seine ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Modal'X (Nanterre). Université Paris Nanterre - Modélisation aléatoire de Paris X
• Jury : Président / Présidente : Christian Léonard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nathanaël Enriquez, Pierre Calka, Christian Léonard, Daniel Hug, Thierry Lévy, Olivier Raimond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Hug, Thierry Lévy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Tessellations

Géométrie différentielle

Riemann, Variétés de

Géométrie aléatoire

Mots clés libres

Mosaïque de Voronoi

Géométrie aléatoire

Géométrie riemannienne

Théorème limite

Variété riemannienne

Formule de Blaschke- Petkantchin

Voronoi tessellation

Stochastic geometry

Riemannian geometry

Limit theorem

Riemannian manifold

Blaschke- Petkantschin formula

Résumé

Une mosaïque de Poisson-Voronoï est une partition aléatoire de l'espace euclidien en polyèdres, appelés cellules, obtenue à partir d'un ensemble aléatoire discret de points appelés germes. A chaque germe correspond une cellule, qui est l'ensemble des points de l'espace qui sont plus proches de ce germes que des autres germes. Ces modèles sont souvent utilisées dans divers domaines tels que la biologie, les télécommunications, l'astronomie, etc. Les caractéristiques de ces mosaïques et des cellules associées ont été largement étudiées dans l'espace euclidien mais les travaux sur les mosaïques de Voronoï dans un cadre non-euclidien sont rares.Dans cette thèse, on étend la définition de mosaïque de Voronoï à une variétériemannienne de dimension finie et on s'intéresse aux caractéristiques des cellules associées. Plus précisément, on mesure dans un premier temps l'influence que peut avoir la géométrie locale de la variété, c'est-à-dire les courbures sur les caractéristiques moyennes d'une cellule, comme son volume ou son nombre de sommets, en calculant des développements asymptotiques des ces caractéristiques moyennes à grande intensité. Dans un deuxième temps, on s'interroge sur la possibilité de retrouver la géométrie locale de la variété à partir des caractéristiques combinatoires de la mosaïque sur la variété. En particulier, on établit desthéorèmes limites, quand l'intensité du processus des germes tend vers l'infini, pour le nombre de sommets de la mosaïque dans une fenêtre, ce qui permet de construire un estimateur de la courbure et d'en donner quelques propriétés.Les principaux résultats de cette thèse reposent sur la combinaison de méthodesprobabilistes et de techniques issues de la géométrie différentielle.

A Poisson-Voronoi tessellation is a random partition of the Euclidean space intopolytopes, called cells, obtained from a discrete set of points called germs. To each germ corresponds a cell which is the set of the points of the space which are closer to this germ than to the other germs. These models are often used in several domains such as biology, telecommunication, astronomy, etc. The caracteristics of these tessellations and cells have been widely studied in the Euclidean space but only a few works concerns non-Euclidean Voronoi tessellation. In this thesis, we extend the definition of Poisson-Voronoi tessellation to a Riemannian manifold with finite dimension and we study the caracteristics of the associated cells. More precisely, we first measure the influence of the local geometry of the manifold, namely the curvatures, on the caracteristics of the cells, e.g. the mean volume or the mean number of vertices. Second, we aim to recover the local geometry of the manifold from the combinatorial properties of the tessellation on the manifolds. In particular, we establish limit theorems for the number of vertices of the tessellation, when the intensity of the process of the germs tends to infinity. This leads to the construction of an estimator of the curvature of the manifold and makes it possible to derive some properties of it. The main results of this thesis relies on the combination of stochastic methods and techniques from the differential geometry theory.