Thèse soutenue

Déformation et quantification de bialgèbres de Lie colorées et cohomologies de Hom-algèbres de type alpha
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Auteur / Autrice : Benedikt Hurle
Direction : Abdenacer Makhlouf
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 04/10/2018
Etablissement(s) : Mulhouse
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique, Mathématiques, Automatique et Signal (Mulhouse) - Institut de Recherche en Informatique Mathématiques Automatique Signal

Résumé

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La première partie de la thèse traite des déformations et quantification de bialgèbres de Lie. L'existence d'une quantification pour chaque bialgèbre de Lie a été démontrée par Etingof et Kazhdan. Dans ce travail, on s'intéresse au cas des bialgèbres de Lie colorée, c'est à dire une structure de bialgèbres de Lie sur un espace gradué par un groupe quelconque et un bicaractère. A cet effet, on adapte la preuve de Etingof et Kazhdan et on introduit une généralisation au cas coloré du grand crochet introduit par Lecomte et Roger. Par ailleurs nous définissons une cohomologie pour les algèbres et bialgèbres de Lie colorées. Dans le deuxième partie de la thèse, on considère les algèbres Hom-associatives et algèbres Hom-Lie. Une algèbre Hom-associative est définie par une multiplication et une application linéaire alpha modifiant l'associativité. On commence cette partie par rappeler des définitions et propriétés des algèbres de type Hom. Ensuite, on définit la cohomologie de Hochschild de type alpha, en donnant ses propriétés. Une étude similaire est faite dans le cas des algèbres Hom-Lie et la cohomologie de Chevalley-Eilenberg, ainsi que pour les Hom-bialgèbres et bialgèbres Hom-Lie. La théorie de déformations formelles introduite par Gerstenhaber met en lien les déformations et la cohomologie. Dans cette thèse on établit une théorie de déformations des algèbres Hom-associatives basée sur la cohomologie de Hochschild de type alpha. Il s'agit de déformer simultanément la multiplication et l'application linéaire. Par ailleurs, on explore la structure d’algèbre de Lie à homotopie près correspondante, telle que les éléments de Maurer-Cartan sont des Hom-algèbres.