Etude du mouvement de solides rigides dans un fluide visqueux

Study of rigid solids movement in a viscous fluid

• Auteur / Autrice : Lamis Marlyn Kenedy Sabbagh
• Direction : Matthieu Hillairet, Raafat Talhouk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 22/11/2018
• Etablissement(s) : Montpellier en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Glass
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Hillairet, Raafat Talhouk, Olivier Glass, Boris Muha, Takéo Takahashi, Céline Grandmont, Simon Mendez, Ayman Mourad
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Boris Muha, Takéo Takahashi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fluides newtoniens

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Interaction fluide-Solide

Équations de Navier-Stokes

Solutions fortes

Problème de contact

Fluides visqueux

Modèle Oldroyd

Fluid-Solid interaction

Navier-Stokes equations

Strong solutions

Contact problem

Viscous fluids

Oldroyd model

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’analyse mathématique du problème du mouvement d’un nombre fini de corps rigides homogènes au sein d’un fluide visqueux incompressible homogène. Les fluides visqueux sont classés en deux catégories: les fluides newtoniens et les fluides non newtoniens. En premier lieu, nous considérons le système formé par les équations de Navier Stokes incompressible couplées aux lois de Newton pour décrire le mouvement de plusieurs disques rigides dans un fluide newtonien visqueux homogène dans l’ensemble de l’espace R^2. Nous montrons que ce problème est bien posé jusqu’à l’apparition de la première collision. Ensuite, nous éliminons tous les types de contacts pouvant survenir si le domaine fluide reste connexe à tout moment. Avec cette hypothèse, le système considéré est globalement bien posé. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous montrons la non-unicité des solutions faibles au problème d’interaction fluide-solide 3D, dans le cas d’un fluide newtonien, après collision. Nous montrons qu’il existe des conditions initiales telles que nous pouvons étendre les solutions faibles après le temps pour lequel le contact a eu lieu de deux manières différentes. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions le mouvement bidimensionnel d’un nombre fini de disques immergés dans une cavité remplie d’un fluide viscoélastique tel que des solutions polymériques. Les équations de Navier Stokes incompressible sont utilisées pour modéliser le solvant, dans lesquelles un tenseur de contrainte élastique supplémentaire apparaît comme un terme source. Dans cette partie, nous supposons que le tenseur de contrainte supplémentaire satisfait la loi différentielle d’Oldroyd ou sa version régularisée. Dans les deux cas, nous prouvons l’existence et l’unicité des solutions fortes locales en temps du problème considéré.

This thesis is devoted to the mathematical analysis of the problem of motion of afinite number of homogeneous rigid bodies within a homogeneous incompressible viscous fluid. Viscous fluids are classified into two categories: Newtonian fluids, and non-Newtonian fluids. First, we consider the system formed by the incompressible Navier-Stokes equations coupled with Newton’s laws to describe the movement of several rigid disks within a homogeneous viscous Newtonian fluid in the whole space R^2. We show the well-posedness of this system up to the occurrence of the first collision. Then we eliminate all type of contacts that may occur if the fluid domain remains connected at any time. With this assumption, the considered system is well-posed globally in time. In the second part of this thesis, we prove the non-uniqueness of weak solutions to the fluid-rigid body interaction problem in 3D in Newtonian fluid after collision. We show that there exist some initial conditions such that we can extend weak solutions after the time for which contact has taken place by two different ways. Finally, in the last part, we study the two-dimensional motion of a finite number of disks immersed in a cavity filled with a viscoelastic fluid such as polymeric solutions. The incompressible Navier–Stokes equations are used to model the flow of the solvent, in which the elastic extra stress tensor appears as a source term. In this part, we suppose that the extra stress tensor satisfies either the Oldroyd or the regularized Oldroyd constitutive differential law. In both cases, we prove the existence and uniqueness of local-in-time strongsolutions of the considered moving-boundary problem.