Auteur / Autrice : | Valentin Seigneur |
Direction : | Étienne Ghys |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 13/12/2018 |
Etablissement(s) : | Lyon |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon |
Partenaire(s) de recherche : | établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...) |
Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Louis Funar |
Examinateurs / Examinatrices : Étienne Ghys, Louis Funar, Michel Boileau, François Laudenbach, Nermin Salepci, Jean-Claude Sikorav, Hélène Eynard-Bontemps | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Boileau, François Laudenbach |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Étant donnée une fonction lisse ˜ f définie sur un voisinage de la sphère euclidienne de dimension n dans la boule, peut-on l’étendre en une fonction définie sur la boule bordée par la sphère, de manière à ce que l’extension n’ait aucun point critique ? Cette thèse propose d’étudier cette question, en supposant que la restriction de ˜ f à la sphère, notée f, est Morse. Ce problème a été introduit pour la première fois par Blank et Laudenbach en1970, et a aussi été posé par Arnol’d en 1981. Nous donnons une condition nécessaire d’extension sans points critiques qui s’appuie sur le complexe de Morse de la fonction f, et de la répartition des points critiques de f en deux ensembles : ceux dont la dérivée normale est négative et ceux dont la dérivée normale est positive. Cette condition nécessaire permet alors de donner un cadre algébrique à ce problème venant de la topologie différentielle et s’appuie principalement sur lesgrandes théories de la deuxième moitié du XXème siècle, à savoir celle des cobordismes de Thom,Smale, Milnor etc. Elle permet notamment de donner des conditions nécessaires et suffisantesdans certains cas plus restrictifs, et donne lieu à une condition nécessaire plus faible qui présentel’intérêt d’être calculable.Le point de départ des résultats est celui de Barannikov, qui le premier a traduit le problèmed’extension de fonction avec des conditions de dérivées normales en un problème de chemin defonctions générique qui ne présente pas de singularité globale.