Thèse soutenue

Homogénéisation stochastique quantitative

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Auteur / Autrice : Alexandre Bordas
Direction : Jean-Christophe Mourrat
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 24/09/2018
Etablissement(s) : Lyon
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (Lyon ; 2009-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...)
Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
Jury : Président / Présidente : Nina Gantert
Examinateurs / Examinatrices : Jean-Christophe Mourrat, Nina Gantert, Pierre Cardaliaguet, Jean-Dominique Deuschel, Alice Guionnet, Grégory Miermont, Scott Armstrong
Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Cardaliaguet, Jean-Dominique Deuschel

Résumé

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Cette thèse porte sur l’homogénéisation quantitative d’équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets. Dans l’introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d’un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu’est l’homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu’un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d’une manière proche d’un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants. Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d’homogénéisation quantitative pour une équation parabolique – l’équation de la chaleur par exemple – dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d’un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d’utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d’en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d’en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé, Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe Zd.