Plans prédictifs à taille fixe et séquentiels pour le krigeage
Auteur / Autrice : | Mona Abtini |
Direction : | Céline Helbert, Maria-João Rendas, Luc Pronzato |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 30/08/2018 |
Etablissement(s) : | Lyon |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon |
Partenaire(s) de recherche : | établissement opérateur d'inscription : École Centrale de Lyon (1857-....) |
Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Clémentine Prieur |
Examinateurs / Examinatrices : Maria-João Rendas, Luc Pronzato, Bertrand Iooss | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Roustant, Robert Faivre |
Mots clés
Résumé
La simulation numérique est devenue une alternative à l’expérimentation réelle pour étudier des phénomènes physiques. Cependant, les phénomènes complexes requièrent en général un nombre important de simulations, chaque simulation étant très coûteuse en temps de calcul. Une approche basée sur la théorie des plans d’expériences est souvent utilisée en vue de réduire ce coût de calcul. Elle consiste à partir d’un nombre réduit de simulations, organisées selon un plan d’expériences numériques, à construire un modèle d’approximation souvent appelé métamodèle, alors beaucoup plus rapide à évaluer que le code lui-même. Traditionnellement, les plans utilisés sont des plans de type Space-Filling Design (SFD). La première partie de la thèse concerne la construction de plans d’expériences SFD à taille fixe adaptés à l’identification d’un modèle de krigeage car le krigeage est un des métamodèles les plus populaires. Nous étudions l’impact de la contrainte Hypercube Latin (qui est le type de plans les plus utilisés en pratique avec le modèle de krigeage) sur des plans maximin-optimaux. Nous montrons que cette contrainte largement utilisée en pratique est bénéfique quand le nombre de points est peu élevé car elle atténue les défauts de la configuration maximin-optimal (majorité des points du plan aux bords du domaine). Un critère d’uniformité appelé discrépance radiale est proposé dans le but d’étudier l’uniformité des points selon leur position par rapport aux bords du domaine. Ensuite, nous introduisons un proxy pour le plan minimax-optimal qui est le plan le plus proche du plan IMSE (plan adapté à la prédiction par krigeage) et qui est coûteux en temps de calcul, ce proxy est basé sur les plans maximin-optimaux. Enfin, nous présentons une procédure bien réglée de l’optimisation par recuit simulé pour trouver les plans maximin-optimaux. Il s’agit ici de réduire au plus la probabilité de tomber dans un optimum local. La deuxième partie de la thèse porte sur un problème légèrement différent. Si un plan est construit de sorte à être SFD pour N points, il n’y a aucune garantie qu’un sous-plan à n points (n 6 N) soit SFD. Or en pratique le plan peut être arrêté avant sa réalisation complète. La deuxième partie est donc dédiée au développement de méthodes de planification séquentielle pour bâtir un ensemble d’expériences de type SFD pour tout n compris entre 1 et N qui soient toutes adaptées à la prédiction par krigeage. Nous proposons une méthode pour générer des plans séquentiellement ou encore emboités (l’un est inclus dans l’autre) basée sur des critères d’information, notamment le critère d’Information Mutuelle qui mesure la réduction de l’incertitude de la prédiction en tout point du domaine entre avant et après l’observation de la réponse aux points du plan. Cette approche assure la qualité des plans obtenus pour toutes les valeurs de n, 1 6 n 6 N. La difficulté est le calcul du critère et notamment la génération de plans en grande dimension. Pour pallier ce problème une solution a été présentée. Cette solution propose une implémentation astucieuse de la méthode basée sur le découpage par blocs des matrices de covariances ce qui la rend numériquement efficace.