Thèse soutenue

Réécriture de dimension supérieure et cohérence appliquées à la catégorification et la théorie des représentations
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Auteur / Autrice : Clément Alleaume
Direction : Philippe MalbosStéphane Gaussent
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 25/06/2018
Etablissement(s) : Lyon
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
Jury : Président / Présidente : Éric Goubault
Examinateurs / Examinatrices : Philippe Malbos, Stéphane Gaussent, Delia Kesner, Anne-Laure Thiel
Rapporteurs / Rapporteuses : Paul-André Melliès, Catharina Stroppel

Résumé

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Dans cette thèse, nous présentons des applications de la réécriture à l'étude de problèmes issus de la catégorification et de la théorie des représentations. En particulier, nous appliquons les méthodes de réécriture aux problèmes de cohérence dans les catégories linéaires et au calcul de décatégorifications. Des méthodes de réécriture ont été développées pour obtenir des résultats de cohérence dans les monoïdes et les catégories monoïdales présentés par des systèmes de réécriture nommés polygraphes. Ces constructions basées sur des résultats de Squier permettent en particulier de calculer des présentations cohérentes de catégories de dimension supérieure à partir des diagrammes de confluence de polygraphes convergents. Dans ce mémoire, nous étendons ces constructions pour obtenir des résultats de cohérence dans les catégories linéaires de dimension supérieure. Nous introduisons les polygraphes linéaires afin de présenter les catégories linéaires de dimension supérieure par des systèmes de réécriture. Nous étudions ensuite les propriétés de réécriture de ces systèmes. Nous donnons une description polygraphique du calcul de décatégorification de Grothendieck. Nous généralisons également la procédure de Knuth-Bendix appliquée aux polygraphes de dimension supérieure. Cette procédure permet de compléter des présentations de catégories de dimension supérieure n'admettant pas nécessairement d'ordre de terminaison induit par une orientation des règles. De plus, nous étudions des problèmes de cohérence dans les catégories de dimension supérieure. Etant donné un polygraphe confluent et quasi-terminant, nous introduisons une notion de complétion de Squier de ce polygraphe composée de diagrammes de décroissance. Nous prouvons que cette complétion rend asphérique la catégorie de dimension supérieure libre sur ce polygraphe. Ce résultat généralise un résultat de Squier au cas des présentations quasi-terminantes. Nous présentons enfin les applications des propriétés des polygraphes linéaire à l'étude de la catégorie AOB définie par Brundan, Comes, Nash et Reynolds. Nous retrouvons par des méthodes de réécriture les bases des espaces de morphismes de AOB exhibées par Brundan, Comes, Nash and Reynolds