Autour de quelques statistiques sur les arbres binaires de recherche et sur les automates déterministes

Around a few statistics on binary search trees and on accessible deterministic automata

• Auteur / Autrice : Anis Amri
• Direction : Philippe Chassaing, Rafik Aguech
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/12/2018
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université de Monastir (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Brigitte Chauvin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Chassaing, Irène Marcovici, Nicolas Pouyanne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Wissem Jedidi, Hosam M. Mahmoud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Arbres (théorie des graphes)

Théorie des automates mathématiques

Structures de données (informatique)

Algorithmes

Mots clés libres

Analyse d’algorithme

Structures de données

Arbres binaires de recherche

Méthode de contraction

Mesures de probabilités

Méthode de point col

Nombre de Stirling de seconde espèce

Problème de collectionneur de coupons

Automates déterministes

Analysis of algorithm

Data structures

Binary search trees

Central limit theorems

Contraction method

Random probability measures

Saddle-point

Stirling number

Coupon collector problem

Complete accessible automata

Résumé

Cette thèse comporte deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous nous intéressons à l’analyse asymptotique de quelques statistiques sur les arbres binaires de recherche (ABR). Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l’étude du problème du collectionneur de coupons impatient. Dans la première partie, en suivant le modèle introduit par Aguech, Lasmar et Mahmoud [Probab. Engrg. Inform. Sci. 21 (2007) 133—141], on définit la profondeur pondérée d’un nœud dans un arbre binaire enraciné étiqueté comme la somme de toutes les clés sur le chemin qui relie ce nœud à la racine. Nous analysons alors dans ABR, les profondeurs pondérées des nœuds avec des clés données, le dernier nœud inséré, les nœuds ordonnés selon le processus de recherche en profondeur, la profondeur pondérée des trajets, l’indice de Wiener pondéré et les profondeurs pondérées des nœuds avec au plus un enfant. Dans la deuxième partie, nous étudions la forme asymptotique de la courbe de la complétion de la collection conditionnée à T_n≤ (1+Λ), Λ>0, où T_n≃n ln⁡n désigne le temps nécessaire pour compléter la collection. Puis, en tant qu’application, nous étudions les automates déterministes et accessibles et nous fournissons une nouvelle dérivation d’une formule due à Korsunov [Kor78, Kor86]

This Phd thesis is divided into two independent parts. In the first part, we provide an asymptotic analysis of some statistics on the binary search tree. In the second part, we study the coupon collector problem with a constraint. In the first part, following the model introduced by Aguech, Lasmar and Mahmoud [Probab. Engrg. Inform. Sci. 21 (2007) 133—141], the weighted depth of a node in a labelled rooted tree is the sum of all labels on the path connecting the node to the root. We analyze the following statistics : the weighted depths of nodes with given labels, the last inserted node, nodes ordered as visited by the depth first search procees, the weighted path length, the weighted Wiener index and the weighted depths of nodes with at most one child in a random binary search tree. In the second part, we study the asymptotic shape of the completion curve of the collection conditioned to T_n≤ (1+Λ), Λ>0, where T_n≃n ln⁡n is the time needed to complete accessible automata, we provide a new derivation of a formula due to Korsunov [Kor78, Kor86]