Méthodes de sélection de structures presque complexes dans le cadre symplectique

Methods to select almost complex structures in symplectic geometry

• Auteur / Autrice : Maxime Gérard
• Direction : Simone Gutt
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/05/2018
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Mélanie Bertelson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Martin Bordemann, Lorenz Schwachhöfer, Camille Laurent-Gengoux, Angela Pasquale
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Martin Bordemann, Lorenz Schwachhöfer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul tensoriel

Structures kählériennes

Variétés quasi-complexes

Variétés symplectiques

Mots clés libres

Variété symplectique

Structures presque complexes

Tenseur de Nijenhuis

Symplectic manifolds

Almost complex structures

Nijenhuis tensor

Résumé

Étant donné une variété symplectique (M,ω), il existe toujours des structures presque complexes ω-compatibles positives. La question qui nous intéresse est de trouver des méthodes de sélection de certaines de ces structures. Des réponses ont déjà été données par V. Apostolov et T.Draghici, J.G. Evans, et J. Keller et M. Lejmi. Nous nous intéressons ici principalement à des méthodes de sélection définies en termes du tenseur de Nijenhuis. De manière très générale, lorsqu'on veut sélectionner certaines données géométriques, on peut aborder le problème de différentes manières. L’une d’entre elles consiste à regarder la décomposition en composantes irréductibles de certains tenseurs naturellement associés à la structure considérée et poser des conditions sur certaines composantes. Nous avons montré que le tenseur de Nijenhuis est irréductible sous l'action du groupe unitaire. Cette irréductibilité ne nous permet pas d'imposer d'autre condition linéaire à ce tenseur que son annulation, qui correspond aux variétés de Kähler. Une autre méthode possible de sélection est d’imposer des conditions à certaines distributions liées au problème. Nous avons étudié des distributions liées au tenseur de Nijenhuis. Nous nous sommes intéressés ici aux dimensions et propriétés d’involutivité possibles de ces distributions. Nous donnons des exemples invariants sous l’action d’un groupe, construits sur des groupes symplectiques ou sur des fibrés de twisteurs sur une variété riemannienne. La dernière méthode envisagée dans ce travail est la considération de fonctionnelles définies à partir des données. Pour construire une fonctionnelle la plus simple possible en termes du tenseur de Nijenhuis, nous intégrons une fonction polynomiale du second degré en les composantes du tenseur de Nijenhuis. On montre qu’un tel polynôme est toujours un multiple de la norme au carré de ce tenseur. La fonctionnelle obtenue est celle étudiée par Evans. Elle est a priori peu intéressante pour notre problème de sélection car il a prouvé qu’on peut trouver des exemples de variétés symplectiques n’admettant aucune structure kählérienne mais telle que l’infimum de la fonctionnelle soit nul

Given a symplectic manifold (M, ω), there always exist almost complex ω-compatible positive structures. The problem studied in this thesis is to find methods to select some of these structures. Answers have already been suggested by V. Apostolov and T.Draghici, J. G. Evans, and J. Keller and M. Lejmi. We are mainly interested here in selection methods defined in terms of the Nijenhuis tensor. The problem of selecting geometric objects can be tackled in various ways. One of them is to decompose into irreducible components some tensors naturally associated with the structure, and to impose conditions on some of those components. We prove that the Nijenhuis tensor is irreducible under the action of the unitary group. This irreducibility does not allow to impose any linear condition on the Nijenhuis tensor, except the vanishing of it, which corresponds to Kähler manifolds. Another possible method of selection is to impose conditions on distributions related to the problem. We study distributions defined by the Nijenhuis tensor. Our results concern the possible dimensions and properties of involutivity of these distributions. We give examples which are invariant under the action of a group, on some symplectic groups and on twisted bundles over some Riemannian manifolds. The last method considered in this work consists in looking for extremals of functionals defined from the data. To construct the simplest functional defined in terms of the Nijenhuis tensor, we integrate a polynomial function of the second degree into the components of this tensor. All such polynomials are multiple of the square of the norm of this tensor. This functional is the one studied by Evans; the drawback for our selection problem is that there exist examples of compact symplectic manifolds which do not admit any K\''ahler structure but such that the infimum of the functional is zero