Les plus grands facteurs premiers d’entiers consécutifs

The largest prime factors of consecutive integers

• Auteur / Autrice : Zhiwei Wang
• Direction : Cécile Dartyge, Jie Wu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/03/2018
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Gérald Tenenbaum
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joël Rivat, Etienne Fouvry, Guangshi Lü, Régis Du Moulin de la Bretèche, Anne-Gwénaëlle de Roton
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Joël Rivat, Etienne Fouvry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Entiers friables

Cribles (mathématiques)

Facteurs premiers

Mots clés libres

Plus grand facteur premier

Système de poids bien adapté

Théorèmes de type Bombieri-Vinogradov

Crible linéaire de Rosser-Iwaniec

Conjecture d'Elliott-Halberstam

Petits intervalles

Entiers friables

Largest prime factors

Well adapted system of weights

Theorems of Bombieri-Vinogradov type

Rosser-Iwaniec linear sieve

Elliott-Halberstam conjecture

Short intervals

Friable integers

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse aux plus grands facteur premiers d'entiers consécutifs. Désignons par P^+(n) (resp. P^-(n) le plus grand (resp. plus petit) facteur premier d'un entier générique n\geq 1 avec la convention que P^+(1)=1 (resp. P^-(1)=\∞). Dans le premier chapitre, nous étudions les plus grands facteurs premiers d'entiers consécutifs dans les petits intervalles. Nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers n tels que P^+(n)<P^+(n+1) pour n\in\, ]x,\, x+y] avec y=x^{\theta}, \tfrac{7}{12}<\theta\leq 1. Nous obtenons un résultat similaire pour la condition P^+(n)>P^+(n+1). Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à la fonction P_y^+(n), où P_y^+(n)=\max\{p|n:\, p\leq y\} et 2\leq y\leq x. Nous montrons qu'il existe une proportion positive d'entiers n tels que P_y^+(n)<P_y^+(n+1). En particulier, la proportion d'entiers n avec P^+(n)<P^+(n+1) est plus grande que 0,1356 en prenant y=x. Les outils principaux sont le crible et un système de poids bien adapté. Dans le troisième chapitre, nous démontrons que les deux configurations P^+(n-1)>P^+(n)<P^+(n+1) et P^+(n-1)<P^+(n)>P^+(n+1) ont lieu pour une proportion positive d'entiers n, en utilisant le système de poids bien adapté que l'on a introduit dans le Chapitre 2. De façon similaire, on peut obtenir un résultat plus général pour k entiers consécutifs, k\in \mathbb{Z}, k\geq3. Dans le quatrième chapitre, on étudie les plus grands facteurs premiers d'entiers consécutifs voisins d'un entier criblé. Sous la conjecture d'Elliott-Halberstam, nous montrons d'abord que la proportion de la configuration P^+(p-1)<P^+(p+1) est plus grande que 0,1779. Puis, nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers n tels que P^+(n)<P^+(n+2), P^-(n)>x^{\beta} avec 0<\beta<\frac{1}{3}

In this thesis, we study the largest prime factors of consecutive integers. Denote by P^+(n) (resp. P^-(n)) the largest (resp. the smallest) prime factors of the integer n\geq 1 with the convention P^+(1)=1 (resp. P^-(1)=\∞). In the first chapter, we consider the largest prime factors of consecutive integers in short intervals. We prove that there exists a positive proportion of integers n for n\in\, (x,\, x+y] with y=x^{\theta}, \tfrac{7}{12}<\theta\leq 1 such that P^+(n)<P^+(n+1). A similar result holds for the condition P^+(n)>P^+(n+1). In the second chapter, we consider the function P_y^+(n), where P_y^+(n)=\max\{p|n:\, p\leq y\} and 2\leq y\leq x. We prove that there exists a positive proportion of integers n such that P_y^+(n)<P_y^+(n+1). In particular, the proportion of the pattern P^+(n)<P^+(n+1) is larger than 0.1356 by taking y=x. The main tools are sieve methods and a well adapted system of weights. In the third chapter, we prove that the two patterns P^+(n-1)>P^+(n)<P^+(n+1) and P^+(n-1)<P^+(n)>P^+(n+1) occur for a positive proportion of integers n respectively, by the well adapted system of weights that we have developed in the second chapter. With the same method, we derive a more general result for k consecutive integers, k\in \mathbb{Z}, k\geq 3. In the fourth chapter, we study the largest prime factors of consecutive integers with one of which without small prime factor. Firstly we show that under the Elliott-Halberstam conjecture, the proportion of the pattern P^+(p-1)<P^+(p+1) is larger than 0.1779. Then, we prove that there exists a positive proportion of integers n such that P^+(n)<P^+(n+2), P^-(n)>x^{\beta} with 0<\beta<\frac{1}{3}