Infeasibility detection and regularization strategies in nonlinear optimization

Détection de la non-réalisabilité et stratégies de régularisation en optimisation non linéaire

• Auteur / Autrice : Ngoc Nguyen Tran
• Direction : Paul Armand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 26/10/2018
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Armand, Mounir Haddou, Olivier Prot, Samir Adly
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dominique Orban, Nicolas Couellan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convergence (mathématiques)

Lagrange, Fonctions de

Pénalisation, optimisation mathématique

Programmation non linéaire

Optimisation mathématique

Algorithmes

Mots clés libres

Optimisation nonlinéaire

Détection de la non-réalisabilité

Regularisation

Dégénéré

Méthode lagrangienne augmentée

Méthode de point intérieur

Méthodes primales-duales

Borne d’erreur locale

Convergence superlinéaire/quadratique

Nonlinear optimization

Infeasibility detection

Regularization

Degenerate

Augmented Lagrangian method

Interior point method

Primal-dual methods

Local error bound condition

Superlinear/quadratic convergence

Résumé

Dans cette thèse, nous nous étudions des algorithmes d’optimisation non linéaire. D’une part nous proposons des techniques de détection rapide de la non-réalisabilité d’un problème à résoudre. D’autre part, nous analysons le comportement local des algorithmes pour la résolution de problèmes singuliers. Dans la première partie, nous présentons une modification d’un algorithme de lagrangien augmenté pour l’optimisation avec contraintes d’égalité. La convergence quadratique du nouvel algorithme dans le cas non-réalisable est démontrée théoriquement et numériquement. La seconde partie est dédiée à l’extension du résultat précédent aux problèmes d’optimisation non linéaire généraux avec contraintes d’égalité et d’inégalité. Nous proposons une modification d’un algorithme de pénalisation mixte basé sur un lagrangien augmenté et une barrière logarithmique. Les résultats théoriques de l’analyse de convergence et quelques tests numériques montrent l’avantage du nouvel algorithme dans la détection de la non-réalisabilité. La troisième partie est consacrée à étudier le comportement local d’un algorithme primal-dual de points intérieurs pour l’optimisation sous contraintes de borne. L’analyse locale est effectuée sans l’hypothèse classique des conditions suffisantes d’optimalité de second ordre. Celle-ci est remplacée par une hypothèse plus faible basée sur la notion de borne d’erreur locale. Nous proposons une technique de régularisation de la jacobienne du système d’optimalité à résoudre. Nous démontrons ensuite des propriétés de bornitude de l’inverse de ces matrices régularisées, ce qui nous permet de montrer la convergence superlinéaire de l’algorithme. La dernière partie est consacrée à l’analyse de convergence locale de l’algorithme primal-dual qui est utilisé dans les deux premières parties de la thèse. En pratique, il a été observé que cet algorithme converge rapidement même dans le cas où les contraintes ne vérifient l’hypothèse de qualification de Mangasarian-Fromovitz. Nous démontrons la convergence superlinéaire et quadratique de cet algorithme, sans hypothèse de qualification des contraintes.

This thesis is devoted to the study of numerical algorithms for nonlinear optimization. On the one hand, we propose new strategies for the rapid infeasibility detection. On the other hand, we analyze the local behavior of primal-dual algorithms for the solution of singular problems. In the first part, we present a modification of an augmented Lagrangian algorithm for equality constrained optimization. The quadratic convergence of the new algorithm in the infeasible case is theoretically and numerically demonstrated. The second part is dedicated to extending the previous result to the solution of general nonlinear optimization problems with equality and inequality constraints. We propose a modification of a mixed logarithmic barrier-augmented Lagrangian algorithm. The theoretical convergence results and the numerical experiments show the advantage of the new algorithm for the infeasibility detection. In the third part, we study the local behavior of a primal-dual interior point algorithm for bound constrained optimization. The local analysis is done without the standard assumption of the second-order sufficient optimality conditions. These conditions are replaced by a weaker assumption based on a local error bound condition. We propose a regularization technique of the Jacobian matrix of the optimality system. We then demonstrate some boundedness properties of the inverse of these regularized matrices, which allow us to prove the superlinear convergence of our algorithm. The last part is devoted to the local convergence analysis of the primal-dual algorithm used in the first two parts of this thesis. In practice, it has been observed that this algorithm converges rapidly even in the case where the constraints do not satisfy the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification. We demonstrate the superlinear and quadratic convergence of this algorithm without any assumption of constraint qualification.