Autour du problème d’Andreadakis

On the Andreadakis problem

• Auteur / Autrice : Jacques Darné
• Direction : Antoine Touzé, Aurélien Djament
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 20/03/2018
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Catégories (mathématiques)

Théorie des tresses

Algèbres de Lie

Groupes d'automorphismes

Théorie combinatoire des groupes

Topologie algébrique

Mots clés libres

Filtration (mathématiques)

Morphisme de Johnson

Résumé

Soit Fₙ le groupe libre de rang n. On considère le groupe IAₙ des automorphismes de Fₙ qui agissent trivialement sur son abélianisé. Deux filtrations canoniques de IAₙ sont définies : la première est sa suite centrale descendante Γ_* ; la seconde est la filtration d’Andreadakis A_*, définie à partir de l’action sur Fₙ. Le problème d’Andreadakis est l’étude de la différence entre ces deux filtrations. Après avoir mis en place un cadre général pour l’étude de telles filtrations et des filtrations sur les algèbres de groupes qui leur sont associées, nous étudions différentes versions de ce problème. En particulier, nous examinons sa restriction à certains sous-groupes de IAₙ : nous montrons que les deux filtrations coïncident si on les restreint aux groupes triangulaires et aux groupes de tresses. Nous examinons aussi le problème stable : nous montrons que le morphisme canonique entre les algèbres de Lie associées aux filtrations est surjectif si n est assez grand devant le degré considéré. Nous étudions également une version p-restreinte du problème, calculant au passage l’algèbre de Lie du groupe de congruence. Les méthodes employées sont essentiellement d’ordre algébrique. Elles proviennent de la théorie combinatoire des groupes ainsi que d’outils développés pour l’étude des groupes de difféotopie, et sont souvent reformulées avec un langage catégorique approprié.

Let Fₙ be the free group on n generators. Consider the group IAₙ of automorpisms of Fₙ acting trivially on its abelianization. There are two canonical filtrations on IAₙ: the first one is its lower central series Γ_*; the second one is the Andreadakis filtration A_*, defined from the action on Fₙ. Andreadakis asked if and how these filtrations were different. We begin by describing a framework adapted to the study of such filtrations and their counterparts on group algebras. We then study several versions of the problem. In particular, we look at its restriction to some subgroups of IAₙ : we show that the two filtration coïncide when restricted to the triangular subroups and to braid groups. We also consider a stable version of the problem : we establish that the canonical morphism between the associated graded Lie rings is surjective when n is big enough compared to a fixed degree. We also investigate a p-restricted version of the Andreadakis problem, and provide a calculation of the Lie algebra of the classical congruence group. Our methods are algebraic in nature. The tools come from combinatorial group theory and the study of mapping class groups; we often introduce some categorical langage to reformulate them.