Boundary Observer-based 0utput Feedback Control of Coupled Parabolic PDEs

par Bainan Liu

Thèse de doctorat en 420021

Sous la direction de Driss Boutat.

Soutenue le 17-12-2018

à Bourges, INSA Centre Val de Loire , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire) , en partenariat avec Laboratoire pluridisciplinaire de recherche en ingénierie des systèmes- mécanique et énergétique / PRISME (laboratoire) .

  • Titre traduit

    Contrôle Basé Observateur au Bord pour une Classe de Systèmes Modélisés par EDPs Paraboliques Couplées


  • Résumé

    Cette thèse vise à concevoir un contrôleur basé observateur au bord pour une classede systèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP) paraboliquescouplées en utilisant la méthode dite backstepping. Grosso modo, la méthode dubackstepping pour les EDP consiste principalement à les transformer sous certainesformes faciles à analyser et à stabiliser à l’aide de contrôleurs ou d’observateurs. Cesformes seront appelées les systèmes cibles. Tout d’abord, ce travail considère un cassimple d’équations couplées avec des paramètres de diffusion constants. Pour ce cas,on met en évidence des conditions de stabilité moins contraignantes que les conditionsproposées dans la littérature sur ce sujet. De plus, pour le même cas, on conçoitune commande par retour d’état basé observateur. Ensuite, on donne une simulationsur un exemple pour prouver la consistance de la méthode proposée. Ce travail traiteégalement d’une classe de systèmes modélisés par équations de réaction-advectiondiffusionavec le même paramètre de diffusion constant en proposant des conditionsparticulières sur les systèmes cibles. Dans un second temps, on traite le cas des équationscouplées réaction-diffusion avec différentes diffusions. Cependant, comme lestermes de diffusions sont différents, il est plus difficile de calculer le noyau de la transformationbackstepping. Pour surmonter cette difficulté, on fait une hypothèse sur lenoyau qui définit la transformation backstepping. De plus, on conçoit également uncontrôleur basé observateur avec les mêmes conditions de stabilité proposées pour lesdeux premières situations. Ensuite, on utilise le principe de séparation pour concevoirun contrôleur basé observateur. Enfin, on utilise un modèle simplifié de réacteurtubulaire pour mettre en évidence la cohérence de la méthode proposée. Dans unetroisième partie, cette thèse étend ces résultats à une classe de systèmes modéliséspar des équations couplées de réaction-advection-diffusion à coefficients dépendantde la variable d’espace, ce qui rend la détermination du noyau de la transformationbackstepping plus difficile. Pour ce faire, on transforme les équations aux dérivéespartielles paraboliques qui définissent le noyau de la transformation en un ensembled’équations hyperboliques. Par conséquent, on peut prouver que le problème est bienposé en fixant des conditions aux limites appropriées pour la fonction noyau. De plus,on fournit également les conditions de stabilité pour les systèmes cibles. La performancede l’observateur proposé est illustrée sur un modèle numérique. Puis, on étendle contrôleur basé observateur aux systèmes EDP d’ordre fractionnaire. Enfin, desconclusions sont présentées avec quelques perspectives


  • Résumé

    This thesis aims to design a boundary observer-based output feedback controllerfor a class of systems modelled by linear coupled parabolic PDEs by using the backsteppingmethod.Roughly speaking, the backstepping method for PDEs mainly consists oftransforming some kinds of PDEs into some particular PDEs, that are easy to analyzeand stabilize by using controllers or observers. This kind of particular PDEs will becalled target systems. Firstly, it considers an easy case of coupled reaction-diffusionequations with the same constant diffusion parameter. For this case, it proposes amore relaxed stability condition for the target system of the backstepping transformation.Moreover, for the same case, it designs a backstepping boundary observer-basedoutput feedback controller. Then, it takes an example to verify the proposed method.It also deals with a class of systems modelled by reaction-advection-diffusion equationswith the same constant diffusion parameter, which are realized by proposingparticular conditions on the target systems. Secondly, it deals with a kind of systemsmodelled by coupled reaction-diffusion equations with different diffusions. In a similarway, it designs a boundary observer for this kind of systems. However, due to thefact that the constant diffusions are not the same, it is more difficult to solve the kernelfunctions of the backstepping transformation than the same diffusion case. Forthis, an assumption on the kernel functions is made to enable us to solve the problem.Moreover, it also designs a backstepping boundary controller based on the proposedstability conditions. Those stability conditions are more relaxed than the conditionswe can find in the literatures on this topic. Then, based on the Separation Principle,it designs an observer-based output feedback controller. It takes a simplified modelof Chemical Tubular Reactor to highlight the proposed method. Thirdly, this thesisdesigns a boundary observer as a more general extension by studying a class of systemsmodelled by coupled reaction-advection-diffusion equations with spatially-varyingcoefficients, which is more challenged to solve kernel functions of the backsteppingtransformation. To achieve this, it transforms the parabolic kernel equations into a setof hyperbolic equations. Then, it proves the well-posedness by setting suitable boundaryconditions for the kernel functions. Moreover, it also provides the stability conditionsfor the target systems. The performance of the proposed observer is illustrated bytaking a numerical model. Fourthly, it extends the above backstepping observer-basedoutput feedback controller to fractional-order PDE systems. Finally, conclusions areoutlined with some perspectives.

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