Les nombres de Catalan et le groupe modulaire PSL2(Z)

Catalan Numbers and the modular group PSL2(Z)

• Auteur / Autrice : Christelle Guichard
• Direction : Gérard Besson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/10/2018
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : François Dahmani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Theresia Eisenkölbl
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Tatiana Smirnova-Nagnibeda, Jean-Christophe Aval

Mots clés

Mots clés contrôlés

Morphismes (mathématiques)

Théorie des tresses

Nombres de Catalan

Mots clés libres

Nombres de Catalan

Groupe modulaire

Groupe des tresses à trois brins B3

Arbres 3-Réguliers

Abélianisé

Polygones convexes entiers

Catalan Numbers

Modular group

Braid group B3

3-Regular trees

Abelianised

Integer convex polygons

Résumé

Dans ce mémoire de thèse, on étudie le morphisme de monoïde mudu monoïde libre sur l'alphabet des entiers nb,`a valeurs dans le groupe modulaire PSL2(zb),considéré comme monoïde, défini pour tout entier a par mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.Les nombres de Catalan apparaissent naturellement dans l'étudede sous-ensembles du noyau de mu.Dans un premier temps, on met en évidence deux systèmes de réécriture, l'un sur l'alphabet fini {0,1}, l'autresur l'alphabet infini des entiers nb et on montreque ces deux systèmes de réécriture définissent des présentations de monoïde de PSL2(zb) par générateurs et relations.Par ailleurs, on introduit le morphisme d'indice associé `a l'abélianisé du rev^etement universel de PSL2(zb),le groupe B3 des tresses `a trois brins. Interprété dans deux contextes différents,le morphisme d'indice est associé au nombre de ''demi-tours''.Ensuite, dans les quatrième et cinquième parties, on dénombre des sous-ensembles du noyau de mu{|{0,1}} etdu noyau de mu, bigradués par la longueur et l'indice. La suite des nombres de Catalan et d'autres diagonales du triangle de Catalan interviennent simplement dans les résultats.Enfin, on présente l'origine géométrique de cette étude : on explicite le lien entre l'objectif premier de la thèse qui était l'étudedes polygones convexes entiers d'aire minimale et notre intéret pour le monoïde engendré par ces matrices particulières de PSL2(zb).

In this thesis, we study a morphism of mono''id mu between the free mono''id on the alphabet of integers nband the modular group PSL2(zb) considered as a mono''id, defined for all integer aby mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}. The Catalan Numbers arised naturally in the study ofsubsets of the kernel of the morphism mu.Firstly, we introduce two rewriting systems, one on the finite alphabet {0,1}, and the other on the infinite alphabet of integers nb. We proove that bothof these rewriting systems defines a mono''id presentation of PSL2(zb) by generators and relations.On another note, we introduce the morphism of loop associated to the abelianised of the universal covering group of PSL2(zb), the group B3 ofbraid group on 3 strands. In two different contexts, the morphism of loop is associated to the number of ''half-turns''.Then, in the fourth and the fifth parts, we numerate subsets of the kernel of mu{|{0,1}} and of the kernel of mu,bi-graduated by the morphism of lengthand the morphism of loop. The sequences of Catalan numbers and other diagonals of the Catalan triangle come into the results.Lastly, we present the geometrical origin of this research : we detail the connection between our first aim,which was the study of convex integer polygones ofminimal area, and our interest for the mono''id generated by these particular matrices of PSL2(zb).